Однофакторный дисперсионный анализ

Рассмотрим действие единичного фактора А (количествен­ного или качественного), который принимает k различных значений (уровней фактора). На i-м уровне производится n_i наблюдений, результаты которых можно записать следующим образом:

Будем полагать, что результаты любого наблюдения мож­но представить в виде модели

Y_ij = μ + d_i + ε_ij, (2.1)

где μ — суммарный эффект во всех опытах; d_i — эффект фак­тора А на i-м уровне (i = 1,2, …,k); ε_ij — ошибка измерения на i-м уровне.

Предположим, что наблюдения на фиксированном уровне фактора нормально распределены относительно среднего значе­ния μ+d_i с общей дисперсией σ². Общее число опытов равно N:

N = n₁+n₂+ … +n_k.

Проверяется нулевая гипотеза равенства средних значений на различных уровнях фактора А:

m₁ = m₂ = … = m_k = m. (2.2)

Наиболее простые расчеты получаются при равном числе опытов на каждом уровне фактора А:

n₁ =n₂ =…= n_k = n.

Общее число наблюдений N равно kn, где k — число серий опытов, а n — число параллельных опытов в серии.

Влияние фактора А является значимым, если

, где f₁ =k-1, f₂ =k(n-1)=N-k. (2.3)

Обозначим через y_i среднее значение наблюдений на i-м уровне:` y_i = ,(2.4)

а общее среднее значение для всей выборки из N наблюдений

y_i = ` y _i. (2.5)