Проверка гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости

Предполагается, что двумерная случайная величина (X, Y) распределена по нормальному закону.

Алгоритм проверки гипотезы следующий.

1. Формулируется гипотеза:

H 0: rx, y = 0;

H 1: rx, y 0.

Здесь rx, y - теоретический коэффициент корреляции.

2. Вычисляется оценка коэффициента корреляции по формуле

, (8.10)

где и - выборочные средние.

3. Определяется значение статистики

, (8.11)

которая распределена по закону Стьюдента с (n -2) степенями свободы, если гипотеза H 0верна.

4. По заданному уровню значимости вычисляется доверительная вероятность = 1 - и из таблицы Стьюдента выбирается критическое значение .

5. Если , то гипотеза H 0отклоняется, а следовательно, вели­чины X и Y коррелированны. В противном случае гипотеза H 0принимается.

Пример 8.1 Проверить гипотезу

H 0: rx, y = 0;

H 1: rx, y 0

при следующих данных: n = 20; = 0,05. Предполагается также, что двумерный закон распределения нормальный.

Решение. Вначале вычислим значение статистики t по формуле (8.11)

Из таблицы Стьюдента выбираем критическое значение

Так как то гипотеза H0принимается, потому что нет оснований ее отклонить.

Пример 8.2. С помощью критерия 2выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения случайной величины X, вариационный ряд, интерваль­ные таблицы и гистограммы распределения которой приведены в примере 5.2. Уровень значимости равен 0,05.

Решение. По виду гистограмм, приведенных на рис. 5.3 и рис. 5.4, выдви­гаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:

H 0: f (x) = N (m,);

H 1: f (x) N (m,).

Значение критерия вычисляем по формуле (8.1):

Как отмечалось выше, при проверке гипотезы предпочтительнее использовать равновероятностную гистограмму. В этом случае

Теоретические вероятности pi рассчитываем по формуле (8.4). При этом полагаем, что

p 1= 0,5(Ф((-4,5245+1,7)/1,98)-Ф((-+1,7)/1,98)) = 0,5(Ф(-1,427)-Ф(-)) =

= 0,5(-0,845+1) = 0,078.

p 2 = 0,5(Ф((-3,8865+1,7)/1,98)-Ф((-4,5245+1,7)/1,98)) =

= 0,5(Ф(-1,104)+0,845) = 0,5(-0,729+0,845) = 0,058.

p 3 = 0,094; p 4 = 0,135; p 5 = 0,118; p 6 = 0,097; p 7 = 0,073; p 8 = 0,059; p 9 = 0,174;

p 10 = 0,5(Ф((++1,7)/1,98)-Ф((0,6932+1,7)/1,98)) = 0,114.

После этого проверяем выполнение контрольного соотношения

Тогда

= 100 (0,0062 + 0,0304 + 0,0004 + 0,0091 + 0,0028 + 0,0001 + 0,0100 +

+ 0,0285 + 0,0315 + 0,0017) = 100 0,1207 = 12,07.

После этого из таблицы "Хи - квадрат" выбираем критическое значение

.

Так как то гипотеза H 0принимается (нет основания ее отклонить).

Пример 8.3. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равно­мерном законе распределения R (0,5; 5,25) случайной величины по выборке объема 10: 2,68 1,83 2,90 1,03 0,90 4,07 5,05 0,94 0,71 1,16, уровень значимости 0,5.

Решение. Вариационный ряд данной выборки имеет вид:

0,71 0,90 0,94 1,03 1,16 1,83 2,68 2,90 4,07 5,05.

После этого строим график эмпирической функции распределения F *(x).

Теоретическая функция распределения F 0(x) равномерного закона R (0,5;5,25) равна

.

Максимальная разность по модулю между графиками F *(x) и F 0(x) равна 0,36 при х = 1,16.

Вычислим значение статистики

Из таблицы Колмогорова выбираем критическое значение Так как < 1,36, то гипотеза о равномерном законе распределения принимается.

ЗАДАЧИ

8.1. С помощью критерия Колмогорова проверить гипотезу о законе распределения случайной величины по выборкам, приведенным в задачах 5.2-5.4.

8.2. По критерию 2проверить гипотезу о законе распределения по выборке, приведенной в задаче 5.5.

8.3. По критерию 2проверить гипотезу о нормальном законе распределения по интервальной таблице

i	A i	B i	hi	i
	-15,52	-8,42	7,10
	-8,42	-5,03	3,39
	-5,03	-2,92	2,11
	-2,92	-0,06	2,86
	-0,06	2,18	2,24
	2,18	3,72	1,54
	3,72	5,68	1,96
	5,68	6,75	1,07
	6,75	10,41	3,66
	10,41	16,99	6,58

При этом необходимо учесть, что

8.4. Проверить гипотезу о равномерном и экспоненциальном законах распределения по данным задачи 8.3.

Проверить гипотезу о некоррелированности случайных величин X и Y, предполагая, что двумерный закон распределения нормальный.

8.5.

8.6.

8.7.