Проверка правильности вычисления главных напряжений и положения главных осей тензора напряжений

Проверка правильности вычисления главных напряжений

Для проверки правильности вычисленных главных напряжений определим инварианты тензора напряжений:

Как видим, инварианты получились такими же, как и в выражениях (2.1). Этот результат также подтверждает вывод о том, что напряженное состояние в точке нагруженного тела является инвариантным объектом.

Проверка правильности вычисления положения главных осей тензора напряжений

Проверка правильности вычисления положения главных осей тензора напряжений основана на свойствах матрицы направляющих косинусов (2.13). Она относится к ортогональным матрицам и обладает следующими свойствами:

1. Определитель ортогональной матрицы равен единице.

2. Сумма квадратов элементов, входящих в каждую строку (столбец) равна единице.

3. Если рассматривать каждую строку матрицы как вектор-строку, а каждый столбец – как вектор-столбец, то скалярные произведения двух разных векторов-строк (векторов-столбцов) равны нулю.

Ортогональные матрицы обладают еще рядом замечательных свойств, о которых можно прочесть в учебниках по линейной алгебре, например, в [4].

Воспользуемся первым свойством ортогональных матриц.

Подставив в (2.13) вычисленные направляющие косинусы, получим;

. (2.23)

Определитель этой матрицы равен единице:

.

Так как определитель получился равным нулю, новая система координат – левая. Для того, чтобы получить правую систему координат, нужно поменять направление одной из главных осей. Поменяем направление второй оси, тогда она будет определяться направляющими косинусами:

.

Соответствующие углы будут равны:

.

Для того, чтобы получить новую систему координат, нужно теперь все углы откладывать от осей старой системы координат против часовой стрелке, так как и старая, и новая системы координат – правые.