Определители произвольного порядка

Пусть задан определитель n-го порядка

.

Для любого определителя выполнены свойства:

а) если в определителе две строки или два столбца равны, то определитель равен нулю:

б) если в определителе какая-либо строка или столбец состоит из нулей, то этот определитель равен нулю:

в) общий множитель в строке или столбце можно вынести за знак определителя:

г) если в определителе поменять местами две строки или два столбца, то определитель изменит знак:

д) определитель не изменится, если к произвольной строке прибавить другую строку, домноженную на любое число. Это же справедливо и для столбцов. Например, в следующем определителе к третьей строке добавлена первая, домноженная на минус два:

Для вычисления определителей специального треугольного вида применимо следующее правило:

_.

Свойства определителей позволяют любой определитель свести к треугольному виду и вычислить его по указанному правилу.

Примеры.

а) (ко второй строке прибавляем первую, домноженную на (-2), к третьей строке прибавляем первую, домноженную на (-3), к четвертой строке прибавляем первую, домноженную на (-8))

(к третьей строке прибавляем вторую, домноженную на (-2))

(по второму свойству определителей).

б) (поменяем вторую и первую строки местами, чтобы иметь единицу на первом месте в первой строке) =

(ко второй строке прибавляем первую, домноженную на (-3) и т.д.) =

.

в) (к третьей строке прибавляем вторую, домноженную на (-1), к четвертой строке прибавляем третью, домноженную на (-1), для уменьшения чисел в первом столбце)