Свойства определителя второго порядка

1) Определитель не изменяется, если все его строки заменить (транспортировать) соответствующими столбцами (равномерность строк и столбцов).

2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный.

3) Если элементы одной строки (столбца) умножить на одно и то же число λ, то новый определитель увеличится в λ раз.

4) Если к одной строке (столбцу) поэлементно прибавить другую строку (столбец), то новый определитель совпадает с исходным (не изменится).

Определение 3. Аналогично, если А = – квадратная матрица 3 х 3 (3 строки,3 столбца), то соответствующим ей определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется следующим образом = .

Числа , , …, называются элементами определителя. Формула дает разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Определение 4. Минор, соответствующий данному элементу определителя третьего порядка, это определитель второго порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Миноры будем обозначать заглавной буквой М с двумя индексами. Так, например, минор , соответствующий элементу , есть определитель = .

Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка. Аналогично формуле, дающей разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки, можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.

Определение 5. А лгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если эта сумма нечетна.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается через . Здесь i означает номер строки, а k- номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.