Вероятность, случайное событие, случайная величина

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий. Вероятностным экспериментом (испытанием, наблюдением) называется эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. В данном эксперименте любой его результат (исход) является событием.

Событие может быть достоверным (всегда происходит в результате испытания); невозможным (заведомо не происходит при испытании); случайным (может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента).

Событие, которое нельзя разбить на более простые события, называется элементарным. Событие, представленное в виде совокупности нескольких элементарных событий, называется сложным (фирма не понесла убытки – прибыль может быть положительной либо равной нулю).

Два события, которые не могут происходить одновременно (увеличение налогов – рост располагаемого дохода; увеличение объема инвестиций – снижение уровня риска), называются несовместными.

Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае они являются совместными (увеличение объема продаж – увеличение прибыли). События называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое (товар реализован – товар не реализован).

Вероятность события – это численная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.

Классическое определение вероятности. Вероятностью Р (А) события А называется отношение числа m равновозможных элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, к общему числу n всех возможных элементарных исходов данного эксперимента:

. (1.1)

Из вышеизложенного вытекают следующие основные свойства вероятности:

1. 0 £ Р (А) £ 1.

2. Вероятность достоверного события А равна 1: Р (А) = 1.

3. Вероятность невозможного события А равна 0: Р (А) = 0.

4. Если события А и В несовместны, то Р (А + В) = Р (А) + Р (В); если же события А и В совместны, то Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (А ^. B). (Р (А ^. B) – вероятность совместного появления этих событий).

5. Если А и противоположные события, то Р () = 1 - Р (А).

Если вероятность осуществления одного события не изменяет вероятности появления другого, то такие события называются независимыми.

При непосредственном вычислении вероятностей событий, характеризующихся большим числом исходов, следует пользоваться формулами комбинаторики [12,13]. Для исследования группы событий (гипотез)

применяются формулы полной вероятности, Бейеса и Бернулли (n независимых испытаний – повторение опытов) [12,16].

При статистическом определении вероятности события А под n понимается полное число фактически проведенных испытаний, в которых событие А встретилось ровно m раз. В этом случае отношение m / n называется относительной частотой (частостью) W_n (A) появления события А в n произведенных испытаниях.

При определении вероятности по методу экспертных оценок под n понимается количество экспертов (специалистов в данной области), опрашиваемых на предмет возможности осуществления события А. При этом m из них утверждают, что событие А произойдет.

Понятия случайного события недостаточно для описания результатов наблюдений величин, имеющих числовое выражение. Например, при анализе финансового результата предприятия в первую очередь интересуются его размерами. Поэтому понятие случайного события дополняется понятием случайной величины.

Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате наблюдения (испытания) принимает одно из возможного множества своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств. Для каждого элементарного события СВ имеет единственное значение.

Различают дискретные и непрерывные СВ. Для дискретной СВ множество ее возможных значений конечно или счетно, т. е. СВ принимает отдельные изолированные значения, которые могут быть заранее перечислены, с определенными вероятностями. Для непрерывной СВ множество ее возможных значений бесконечно и несчетно, например, все числа данного интервала, т.е. возможные значения СВ не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Примеры случайных величин: Х - ежедневное число покупателей в супермаркете (дискретная СВ); Y - число детей, родившихся в течение суток в определенном административном центре (дискретная СВ); Z - координата точки попадания артиллерийского снаряда (непрерывная СВ).

Многие СВ, рассматриваемые в экономике, имеют настолько большое число возможных значений, что их удобнее представлять в виде непрерывных СВ. Например, курсы валют, доход населения и т. п.

Для описания СВ необходимо установить соотношение между всеми возможными значениями СВ и их вероятностями. Такое соотношение будет называться законом распределения СВ. Для дискретной СВ его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) либо графически. Например, таблично для СВ Х

Х	х1	х2	…	хn
pi	p1	p2	…	pn

Обычно x ₁ < x₂ < … < x_n. Обязательно (полная система несовместных событий).

Пример 1.1. Группа, состоящая из 20 студентов, сдаёт экзамен по теории вероятностей. Из группы 10 студентов получают оценку 3; 6 - оценку 4; 4 – оценку 5. Построить закон распределения дискретной СВ - бальной оценки, полученной случайно выбранным студентом.

Решение данной задачи можно представить в виде таблицы:

X
pi	0,5	0,3	0,2

Если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности, то получаемая соединением точек ломанная линия является графическим изображением закона распределения и называется полигоном распределения вероятностей (многоугольником распределения). Аналитически СВ задается либо функцией распределения, либо плотностью вероятностей.

Функцией распределения СВ Х называют функцию F (x), определяющую для каждого х вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее х:

F (x) = P (X < x). (1.2)

Из определения вытекают следующие свойства функции распределения:

1. 0 £ F (х) £ 1 – неотрицательная функция.

2. F (x) – неубывающая функция, т. е. при х ₂ > x ₁ F (x₂) ³ F (x ₁).

3. , , если значения случайной величины, расположены на всей оси х.

4. Вероятность попадания СВ Х в интервал [ а, b) (включая а) равна приращению F (x) на этом интервале, т. е. Р (а £ х £ b) = F (x) - F (b).

5. P (X ³ x) = 1 – F (x).

График функции распределения дает наглядное представление о вероятности изменения значений СВ.

Для примера 1.1 функция распределения F (x) и ее график имеют вид:

Рис. 1.1.

По мере увеличения числа возможных значений дискретной СВ и уменьшения интервалов между ними, число скачков (разрывов функции распределения) будет становиться все больше, а сами скачки – меньше; ступенчатая кривая становится все более плавной; т.е. дискретная СВ постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения – к непрерывной функции.

Для непрерывной СВ нельзя определить вероятность того, что она примет некоторое конкретное значение (точечную вероятность). Так как в любом интервале содержится бесконечное число значений, то вероятность выпадения одного из них асимптотически равна нулю. В результате непрерывную СВ нельзя задать таблично. Однако для описания непрерывной СВ может быть использована функция распределения и плотность вероятности (плотность распределения вероятностей).

Плотностью вероятности непрерывной СВ Х называют функцию f (x), являющуюся производной ее функции распределения

f(x) = F ^’(x). (1.3)

Плотность вероятности f (x) определяет закон распределения для непрерывной СВ.

Свойства плотности вероятности:

1. f (x) ³ 0.

2. Вероятность попадания непрерывной СВ в интервал [ a, b ] равна определенному интегралу – т. е. площади заштрихованной фигуры (см. рис. 1.2). Вероятность попадания значений СВ в «хвосты» распре­деления, т. е. в интервалы (-¥, а) и (b; +¥), равна 1 – Р(а £ х £ b).

3. Функция распределения (рис. 1.2) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

.

4. – условие нормировки. Площадь под графиком кривой плотности вероятности f (x) равна единице (рис. 1.3).

Рис. 1.2. Рис. 1.3.

Из определения плотности вероятности следует: tg α= f(m), где α- угол наклона касательной к кривой функции распределения F(x) в точке x= m (геометрический смысл производной функции).