2015-10-22
1602
Из определенного числа элементов можно составлять сочетания, перестановки и размещения. Для того чтобы их вычислить, необходимо иметь представление о понятии факториала. Символически запись такая n! (читается: эн—факториал).
Факториал есть произведение натурального ряда чисел от 1 до n. Например,
3!=1 2 3=6
5!=2 3 4 5=120
7!==1•2 3 4 5 6 7=5040 и т. д.
n!=1•2 3 4 5...... n
Сочетание —это такая группа элементов, когда из большего их числа выбираем меньшее. Большее их число обозначим — n, меньшее — k. Вычисление сочетаний следует производить по формуле:
где 
— число сочетаний из n по k;
n—все рассматриваемые элементы;
k—меньшее их число.
Пример 19. Для упражнений с мячом необходимо отобрать 3 мяча из 5 имеющихся. Сколько возможных вариантов такого отбора?
Для определения количества вариантов необходимо найти число сочетаний 
(3 из 5), при этом большее число n=5, меньшее k=3.
В соответствии с формулой (17)
Пример 20. В тренировочном процессе можно использовать 50 различных физических упражнений. В одном занятии применяют 10. Сколько возможно получить вариантов занятий, не повторяющих друг друга?
Для определения количества занятий найдем число сочетаний из n==50 по k=10.
Пример 21. Из 7 занятий, идущих в последовательности 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, три возможно использовать для теоретической подготовки. Это могут быть занятия 1, 2, 3. или 4, 5, 6, или 5, б, 7, или 1, 4, 5, или 2, 6, 7 и т, д. Сколькими способами возможно подобрать эти три занятия?
Для определения этого воспользуемся формулой сочетаний и найдем их возможное число из п==7 по k==3:
Перестановки — это образование таких групп элементов, когда общее их количество не меняется, а изменяется порядок их расположения. Перестановки элементов находятся по формуле:
Pk = k! (18)
где k— число всех элементов;
Р — число перестановок из k элементов.
Пример 22. Сколькими способами могут быть расположены 6 игроков на волейбольном поле?
Общее количество игроков — 6. Число перестановок находим по формуле (18):
Р6=6!=1 2 3 4 5 6=720.
Пример 23. Жребий определяет последовательность выступлений 10 спортсменов. Сколько вообще возможно способов в последовательности их выступлений?
Общее количество спортсменов—10. Число перестановок находим по формуле (18):
Р10 = 10!==1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=3 628 800.
Размещения — такая группа элементов, когда из большего числа n выбирается их меньшее число k, внутри которых производят перестановки.
Размещения вычисляют по формуле:
где А 
—число размещений элементов из общего числа n по меньшему числу к;
n — общее число элементов;
k — меньшее число элементов.
Пример 24. Из 6 тренировок, идущих в последовательности 1, 2, 3, 4, 5, 6, три отведены для занятий гимнастикой. Это могут быть занятия 1, 2, 3 или 1, 4, 5, или 3, 4, 6 и т. д. Последовательность занятий гимнастикой также имеет значение. Среди избранных трех занятий 1, 2, 3 это может 1, 2, 3 или 2, 1, 3, или 3, 1, 2, и т. д. Сколько возможно получить вариантов для образования последовательности трех занятий гимнастикой с перестановкой их из 3 возможных?
Для определения количества вариантов находим число размещений А из 6 по 3:
В заключении отметим, что нахождение элементов комбинаторики: сочетаний, перестановок и размещений имеет значение для вычисления вероятности при определении равновозможных событий, а также имеет свое самостоятельное значение, что видно, в частности, из приведенных примеров.
