Лекция 6. Системы счисления

Системы счисления - это системы, созданные человеком (искусственные системы). Существуют естественные системы, созданные природой. К естественным системам относятся галактики, солнечная система.

Разновидности искусственных систем.

- Материальные: автомобили, самолёты, дома, города.

- Общественные: различные объединения людей.

- Информационные: национальные языки, компьютерная сеть Internet, системы счисления и т.д.

Каждая искусственная система создаётся с определённой целью. Целью создания системы счисления является выработка наиболее простого способа записи чисел (к примеру, если бы у нас на каждой руке было четыре пальца, то, вероятнее всего, наша система счисления была бы не десятичной, а восьмеричной). Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество.

Любая предназначенная для практического применения СС должна обеспечивать:

- возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

- единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

- простоту оперирования числами;

Для записи чисел применяются и применялись издавна придуманные людьми специальные значки, называемые цифрами. Например, известны римские и арабские цифры.

С помощью римских цифр. Такая форма записи чисел применяется только в специфических случаях, например, в часах, датах, при нумерации. С помощью римских цифр неудобно записывать большие числа и при выполнении вычислений возникают серьезные проблемы.

С помощью арабских цифр (0, ……….9). Такая форма записи сложилась в Индии, а в Европе она стала известной благодаря арабским математикам. Особый вклад в популяризацию современной формы записи чисел сделал арабский математик аль-Хорезми, который сформулировал правила четырех арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) над многозначными числами.

Существует множество систем счислений (двоичные, десятичные, восьмеричные, шестнадцатеричные и т.д.).

Таблица 1- Основания систем счисления.

q	Название	Цифры
	двоичная	0, 1
	троичная	0, 1, 2
	восьмеричная	0,..., 7
	шестнадцатеричная	0,...,9,A,..., F

Каждая СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо операции над числами, надо помнить о СС, в которой они представлены.

Если основание системы превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10 соответствует знак «A», цифре 11 - знак «B» и т.д.

Способ записи чисел называют нумерацией или системой счисления.

Система счисления - это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами. Следует различать понятия «вид цифры» и «значение цифры».

Системы счисления в зависимости от способа изображения чисел делятся на позиционные и непозиционные.

Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число, называются позиционными.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от местонахождения этой цифры в записи числа, называются непозиционными.

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757, 7 -первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Пример. Позиционная система счисления - арабская десятичная система, в которой основание Р= 10, для изображения чисел используются 10 цифр.

Рассмотрим три числа: 298, 829, 982.

Эти числа различны, хотя в их записи используются одни и те же цифры. 2,8,9. И в каждом числе цифра несет определенный вес в зависимости от того, где она стоит.

В первом числе 2-это сотни.

Во втором - 2 это десятки.

В третьем - 2 это единицы.

В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Пример. Непозиционная система счисления –римская, в которой для каждого числа используется специфическое сочетание символов (XIV, XXII).

Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления.

Базис позиционной системы счисления - это последовательность чисел, каждое из которых задаёт значение цифры «по месту» или вес каждого разряда.

Пример базисов традиционных систем:

Десятичная: 10 , 10, ,10 ,….,

Двоичная:

В более общем виде для позиционных систем счисления базис можно записать в виде последовательных членов геометрической прогрессии:

…

Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием системы.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:

- двоичная- {0,1};

- десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, - {0, 1,...,9};

- шестнадцатеричная - {0,1,2,...9, А, В, С, D, Е, F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10,В-число 11,...,F-число 15;

- восьмеричная (от слова восьмерик) - {0,1,2,3,1,5, б, 7}. Она широко используется во многих специализированных ЭВМ.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 2⁴ и 8 = 2³. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.

Как было сказано ранее, в компьютере в двоичном виде может храниться числовая, текстовая, графическая и звуковая информация.

Все числовые данные хранятся в машине в двоичном виде, т.е. в виде последовательности нулей и единиц, однако формы хранения целых и действительных чисел различны.

Целые числа хранятся в форме с фиксированной запятой, действительные числа хранятся в форме с плавающей запятой.

Отметим, что необходимость различного представления целых и действительных чисел вызвана тем, что скорость выполнения арифметических операций над числами с плавающей запятой существенно ниже скорости выполнения этих же операций над числами с фиксированной запятой. Существует большой класс задач, в которых не используются действительные числа. Например, задачи экономического характера, при решении которых данными служат количество деталей, акций, сотрудников и т.д., работают только с целыми числами.

Для решения математических и физических задач, в которых невозможно обойтись только целыми числами, используется представление в форме с плавающей запятой.

Более того, в современных персональных компьютерах процессоры выполняют операции только над целыми числами в форме с фиксированной запятой.

Десятичная система счисления

Основание данной системы равно 10:

Распишем натуральное число 1578 по следующей схеме:

1 5 7 8

четыре тысячи + пятьсот + семьдесят + восемь

1*1000 + 5*100 + 7*10 + 8

1578 =

В каждом слагаемом присутствует в качестве множителя степень с основанием 10. Число 10 принято за основание используемой человеком системы счисления. Другими словами, обычно для работы с числами мы используем десятичную систему счисления.

Основание данной системы равно 2:

Десятичная система счисления неудобна для использования в электронных машинах. Техническая реализация устройств для операций с десятичными числами является громоздкой и неудобной. В современной вычислительной технике информация кодируется с помощью последовательности сигналов вида: включено или выключено., высокое напряжение или низкое.

Отключено - 0 или низкое напряжение- 0

Включено - 1 или высокое напряжение- 1

Определение. Система счисления с основание Р= 2, в котором используются всего 2 цифры (0 и 1), называется двоичная система счисления или бинарная.

Такое кодирование называется двоичным кодирование, а цифры 0 и 1 называются битами.

В ЭВМ каждому символу соответствует последовательность из 8 нулей и единиц, называемая байтом. 1 байт = 8 битов.

Всего существует 256 разных последовательностей из 8 нулей и единиц, это позволяет закодировать 256 различных символов. 2 = 256.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

- для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

- возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

- двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Общение с компьютером на языке двоичных чисел слишком неудобно. Длинные десятичные числа при переводе в двоичную систему записываются в виде длинных записей (сотни и тысячи нулей и единиц), что делает неудобным работу с такими записями. Мало того, что на эту работу уйдет много времени, но гораздо больше придется потратить на поиск и исправление неизбежных ошибок.

Для облегчения работы с двоичными числами стали использовать в качестве вспомогательного средства систему счисления с основанием 16. Для записи шестнадцатеричных чисел необходимо 16 цифр. Первые десять цифр – это арабские цифры, а остальные шесть цифр – это первые буквы латинского алфавита.

Электронной машине удобно работать с числами, записанными с помощью только двух цифр, т.е. в двоичной системе счисления. Но чтобы человек, работающий с десятичной системой, и компьютер, работающий с двоичной, “понимали” друг друга, необходимо уметь переводить десятичную запись в двоичную и наоборот.

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел.

Таблица 2 – Представление чисел в разны хсистемах счисления.

10-я	2-я	8-я	16-я	10-я	2-я	8-я	16-я
							A
							B
							C
							D
							E
							F

Рассмотрим основные алгоритмы преобразование целых чисел из десятичной системы счисления в другую (отличную от десятичной).

Алгоритм 1. Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счис­ления в двоичную.

1) делим исходное число а на 2 нацело в десятичной системе и записываем в качестве нового значения деся­тичного числа а целую часть результата от деления;

2) остаток от деления (это будет 0 или 1) приписываем слева к полученным ранее цифрам в двоичной записи числа а (первая полученная цифра соответствует младшему разряду и ее мы просто записываем);

3) выполняем (1) и (2) до тех пор, пока число а не станет равным 0.

Примеры реализации Алгоритма 1.

Пример1. Переведем число из десятичной системы в 2 – ичную систему.

356₁₀ → х {0;1}

- 3
	- 16
- 14		- 8
	- 18		- 4
- 16		- 8		- 2
			- 4		- 10
				- 2		- 4
							- 2

Ответ. 356₁₀ = 101100100₂

Пример 2. Переведем число из десятичной системы в 2 – ичную систему.

₁₅₁₁₀ → х {0;1}

Ответ 151_{10 =} 10010111₂

Алгоритм 2. Аналогичным образом производится перевод чисел из десятичной системы счисления в любую Р -ичную

Примеры перевода чисел из десятичной системы в любую Р -ичную.

356₁₀ ® Х₁₆

356₁₀=164₁₆

57₁₀→Х₇

57₁₀=111₇

726₁₀=Х₁₆

726₁₀ = 2D5₍₁₆₎

Алгоритм 3. Алгоритм перевода целых чисел из Р-ичной системы счисле­ния в десятичную:

1) каждая цифра числа в Р-ичной системы счисления переводится в число в десятичной системе;

2) полученные числа нумеруются справа налево, начи­ная с нуля (номера соответствуют степеням Р в многочлене;

3) десятичное число, соответствующее каждой Р-ичной цифре, умножается на P^k, где k — номер этого числа, и результаты складываются, причем все эти арифметические действия проводятся в десятичной системе.

Примеры реализации алгоритма.

Алгоритм 4. П еревода чисел из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

При переводе двоичной записи в шестнадцатеричную пользуются таблицей 2.

Пример 1: Записать число 11101101001110₂ в шестнадцатеричной системе счисления.

Решение: Разобьем справа налево данное двоичное число на группы по четыре цифры, приписав впереди, если нужно, незначащие нули. Затем используя таблицу (2), заменим на соответствующие шестнадцатеричные цифры.

Ответ: 11 1011 0100 1110 = 3B1E₁₆

Пример 2: Записать число 13C9A ₁₆ в двоичной системе счисления.

Решение: Используя таблицу, заменим каждую цифру данного шестнадцатеричного числа соответствующими наборами двоичных цифр.

Ответ: 13C9A₁₆ = 0001 0011 1100 1001 1010₂ = 1 0011 1100 1001 1010₂

Алгоритм 5. Алгоритм получения дополнительного кода. Перевод отрицательного числа.

Для получения дополнительного k -разрядного кода от­рицательного числа необходимо:

1) модуль числа представить прямым кодом в k двоич­ных разрядах;

2) значения всех бит инвертировать (все нули заменя­ются на единицы, а единицы на нули), таким обра­зом получается k -разрядный обратный код исходно­го числа;

3) к полученному обратному коду, трактуемому как k -разрядное неотрицательное двоичное число, при­бавить единицу.

Пример. Перевести отрицательное число в 2-ую систему исчисления.

1100001 -Прямой код числа

0011110-Обратный код числа

+ 1

0011111 – Дополнительный код числа

Пример. Найти прямые, обратные и дополнительные коды чисел: -5310.

110112 – прямой код числа.

001002 – обратный код числа.

+

1

(00)1012 – дополнительный код числа.

Алгоритм 6. Алгоритм перевода правильной конечной десятичной дроби в Р-ичную систему счисления:

1) умножим исходное число на Р (основание новой сис­темы счисления), целая часть полученного произве­дения является первой цифрой после запятой в иско­мом числе (целая часть может быть как равна нулю, так и быть больше девяти, но она всегда меньше чем Р, это позволяет записать ее в виде ровно одной цифры Р -ичной системы счисления);

2) дробную часть произведения снова умножим на Р, целую часть полученного числа заменяем на цифру в Р -ичной системе и приписываем ее справа к резуль­тату;

3) выполняем пункт (2) до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю, или не выде­лится период (дробная часть окажется равной уже получавшейся ранее дробной части произведения).

Пример. Перевести дробь в 2-ую систему исчисления и назад.

а)

0,469 2
0,938 2
0,876 2
0,752 2
0,504 2
0,008 2

11110,011110

б)

0,375 2

0,75 2

0,5 2

1001000000,011

Рассмотрим правила двоичной арифметики через нижеприведённые примеры.

+

а)

+

б)

-

в)

		*
		+
	+

г)

-

,

-

-

-

-

Сложение

Таблица сложения в двоичной системе предельна проста, Так как 1 + 1 = 10, то при сложении столбиком в данном разряде остается 0, а 1 переносится в следующий разряд.

Вычитание

При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак.

Умножение

Операция умножения выполняется с использованием умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением содержимого на очередную цифру множителя. Из приведенных примеров видно, что в двоичной сие теме операция умножения сводится к сдвигам множимого и сложению промежуточных результатов.

Деление

Операция деления выполняется по правилам, подобным правилам выполнения деления в десятичной системе счисления. При делении столбиком приходится в качестве промежуточных вычислений выполнять действия умножения и вычитания. Но в двоичной системе промежуточные умножения сводятся к умножению делителя или на 0 или на 1, поэтому наиболее сложной остается лишь операция вычитания, которую надо научиться делать безошибочно.