Понятие производной функции

Определение1: Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел (если он существует) отношения приращения функции ∆ f в этой точке к приращению аргумента ∆ х, когда последнее стремится к нулю:

Обозначается или

Нахождение производной функции называется дифференцированием.

Определение2: Дифференциалом функции f(x) называется произведение производной этой функции на произвольное приращение аргумента.

Обозначается или , где .

Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной

Символьная формулировка:

Словесная формулировка: производная постоянной равна нулю.

2. Производная алгебраической суммы функций

Символьная формулировка:

Словесная формулировка: производная алгебраической суммы функций равна сумме производных этих функций.

3. Производная произведения двух функций

Символьная формулировка

Словесная формулировка: производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.

4. Производная произведения постоянной на функцию:

Символьная формулировка

Словесная формулировка: Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

5. Производная частного двух функций:

Символьная формулировка:

6. Производная сложной функции:

Пусть y есть функция от u: а переменная u, в свою очередь, есть функция от аргумента х: т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции):

Символьная формулировка:

Словесная формулировка: Производная сложной функции равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х:

Таблица производных элементарных функций

Функция у	Производная
С
х
для сложной функции:	где n – любое действительное число
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
Функция у	Производная
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции: