Математический диктант «Векторная алгебра»

Лабораторное занятие № 5

Тема: Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве.

Действия над ними. (2 часа)

Учебно-познавательные цели занятия: углубление знаний о векторах, знакомство с методикой выполнения основных операций над векторами.

Воспитательная цель: формирование пространственных представлений студентов

Развивающаяцель – развитие творческих способностей студентов.

На лабораторном занятии формируются понятия:

- понятия вектора;

- линейных операций над векторами;

- скалярного произведения векторов;

- векторного произведении векторов;

- смешенного произведении векторов;

- векторного пространства;

- базиса векторного пространства.

На занятии формируются знания:

- свойств линейных операций над векторами;

- свойств скалярного произведения векторов;

- свойств векторного произведения векторов:

- свойств смешанного произведения векторов.

умения:

- выполнять линейные операции над векторами;

- находить скалярное произведение векторов;

- определять углы между векторами;

- находить векторное произведение векторов, площадь треугольника.

- находить смешанное произведение векторов, объем пирамиды.

- раскладывать вектор по базису,

навыки:

- аргументированного письменного изложения собственной точки зрения;

- критического восприятия информации

компетенции:

- ОК-1 – владение культурой мышления, способностью к восприятию, обобщению и анализу информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;

- ОК-2 – умением логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь;

- ОК-11 – способностью представить современную картину мира на основе естественнонаучных, математических знаний, ориентироваться в ценностях бытия, жизни, культуры;

- ПК-1 - способностью использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования;

- ПК-25 - способностью к обобщению и статистической обработке

Материально-техническое оборудование:

мультимедийный проектор, ноутбук, презентация «Векторы и действия над ними»

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ.

2.Проверка знаний студентов — их теоретической готовности к выполнению заданий.

3. Общее описание задания.

4. Выполнение заданий.

5. Оформление отчета о лабораторной работе.

6. Анализ

Глоссарий

Выучите определения следующих терминов:

вектор, длина вектора, нулевой вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, свойства векторов, скалярное произведение векторов, нахождение угла между векторами, векторное произведение векторов, алгебраические и геометрические свойства скалярного и векторного произведений векторов, смешенное произведение векторов, свойства смешенного произведения векторов, n-мерный вектор пространства, базис векторного пространства, теорема о разложении вектора по базису.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ в компьютерном классе.

2. На лабораторном занятии используется фронтальная и индивидуальная работа.

Студентам необходимо:

- ознакомиться с основными теоретическими сведениями по каждой

из рассматриваемых тем;

- ответить на контрольные вопросы по по каждой

из рассматриваемых тем;

- изучить решение общих исходных практических заданий;

- выполнить представленные задания для малых групп;

- оформить отчет о лабораторной работе;

- защитить лабораторную работу

Основные теоретические сведения по теме:

"Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве.

Действия над ними"

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В.

Определение 2. Модулем (длиной) вектора называется длина отрезка AB.

Определение 3. Векторы на плоскости, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы в пространстве, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Введем операции над векторами.

Определение 4. Произведением вектора на число называется вектор , такой что:

1) , 2) коллинеарен , 3) сонаправлен с вектором , если ; и противоположно направлен вектору , если .

В частности, -1× = - - есть вектор, противоположный вектору .

Теорема 1. Два вектора на плоскости и коллинеарны тогда и только тогда, когда , где .

Пример 2. Дан вектор . Найти векторы и - .

-

Все векторы коллинеарны, вектор имеет длину в 2 раза больше, чем вектор и сонаправлен с ним, а вектор - имеет длину в 3 раза больше, чем и противоположно направлен ему.

Правило 1. (треугольника). Чтобы найти сумму двух неколлинеарных векторов и необходимо начало вектора совместить с концом вектора и провести вектор из начала вектора в конец вектора . Этот вектор и есть вектор суммы данных векторов.

Правило 2. (параллелограмма). Чтобы найти сумму двух неколлинеарных векторов и необходимо совместить их начала и достроить параллелограмм на этих векторах. Затем провести диагональ из общего начала векторов и . Вектор суммы есть вектор, лежащий на построенной диагонали с длиной, равной ее длине и с началом в точке совмещения начал векторов и .

Определение 5. Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора

В параллелограмме, построенном на векторах,одна из диагоналей есть сумма векторов, а другая – их разность

Замечание 1. Для пары векторов и в пространстве может быть определена еще одна операция умножения – векторное произведение x = . Поскольку она имеет ясный физический смысл, то эта операция изучается в курсах математики для инженерных специальностей. Однако она характеризует также такие интересные с точки зрения экономической теории явления, как наличие источников или завихренностей для совокупностей векторных переменных Упражнения на векторное произведение имеются в пособии [Борзых, спецглавы].

Определение 6. Скалярным произведением векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними, т.е.

(1)

Косинус угла между векторами можно найти по формуле:

(2)

Так как угол между коллинеарными векторами равен 0° (для сонаправленных векторов) или 180° (для противоположно направленных векторов), а угол между ортогональными (перпендикулярными) векторами равен 90°, то справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда . Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда .

Замечание 2. Если векторы коллинеарны, то по знаку их скалярного произведения можно определить сонаправлены они (если ) или нет (если ). Для неколлинеарных векторов можно определить какой угол образуют векторы, острый или тупой. Угол - острый, если (т.к. в первой четверти). Угол - тупой, если (т.к. во второй четверти).

Пусть А (x ₁; y ₁) и B (x ₂; y ₂) – две точки на плоскости, заданные своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат хОу.

B

A

y 1

y 2

y

Определение 7. Координатами вектора называются его проекции на оси координат, которые можно найти по формулам:

x 1

x 2

x

O

(3)

Зная координаты векторов, можно найти их модули и выполнить операции над векторами.

Пусть на плоскости даны векторы . Тогда нетрудно доказать что:

; (4)

; (5)

; (6)

; (7)

. (8)

Пример 2. На плоскости даны векторы: . Найти модули векторов и попарные скалярные произведения. Выяснить, какие из векторов коллинеарны, сонаправлены, противоположно направлены. Для неколлинеарных векторов выяснить, какие углы острые или тупые образуют векторы.

Решение. Найдем модули векторов по формуле (7): , , , . Скалярные произведения найдем по формуле (6): , , , , , . Так как и , то векторы и коллинеарны (см. Теорему 5.2.), причем противоположно направлены (см. Замечание 5.2.). Векторы и также коллинеарны, так как и , причем они сонаправлены. Векторы и образуют острый угол, т.к. . Аналогично, векторы , образуют острый угол. Векторы и образуют тупой угол так как .y

Пусть А (x ₁; y ₁; z ₁) и B (x ₁; y ₂; z ₂) – две точки в пространстве, заданные своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат Оxуz. Тогда координаты вектора можно найти по формуле:

(3¢)

Для векторов в пространстве справедливы утверждения аналогичные (4) - (8):

; (4¢)

; (5¢)

; (6¢)

; (7¢)

. (8¢)

Замечание 3. Аналогичные формулы существуют и для векторов большей размерности, в частности модуль вектора равен . Подробнее см. раздел 6.

Пример 3. Даны точки А (1; 1; 1), В (2; 2; 2), С (3; 0; 0), D (0; -4; 0). Найти угол между векторами и .

Решение. Найдем координаты векторов и по формуле (3¢):

; .

Найдем координаты векторов и по формуле (4¢), и вычислим косинус угла между векторами по формуле (8¢):

; .

Пусть - искомый угол, тогда

.

.

Ответ: .

Зная координаты векторов, можно установить их коллинеарность или компланарность с помощью следующей теоремы.

Теорема 3. Два вектора на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда , или, что то же самое, когда , т.е. координаты векторов пропорциональны.

Три вектора в пространстве компланарны тогда и только тогда, когда .

Замечание 5. Условием коллинеарности векторов в пространстве является пропорциональность их соответствующих координат.

Пример 4. Выяснить, какие из векторов коллинеарны:

а) ,

б) .

Решение. а) Вычислим определители, составленные из координат векторов:

На основании Теоремы 5.3 делаем вывод, что пары векторов и коллинеарны.

б) Найдем отношения соответствующих координат векторов :

. Так как координаты векторов пропорциональны (коэффициент пропорциональности равен –1/2), то векторы коллинеарны (см. Замечание 5.4.). Аналогично можно установить, что векторы коллинеарны и векторы коллинеарны. Проверим коллинеарны ли векторы . Найдем отношения соответствующих координат векторов : , следовательно, эти векторы не коллинеарны.

Ответ: а) , ; б) , , .

Пример 5. Компланарны ли векторы: ?

Решение. Вычислим определитель, составленный из координат векторов.

. Следовательно, векторы компланарны.

Ответ: да.

Векторное произведение векторов (9), заданных координатами, имеет вид

, (9)

где ; .

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторов и, где есть векторное произведение и .

Смешанным произведением векторов (10) равно (по абсолютной величине) объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

(10),

где .

n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x =(x _1, x _2, x _3,…. x _n), где x_i —i-тая компонента вектора x.

Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. x + y = y + x. 4. α (x + y)= α x + α y.

2. (x + y)+ z = x +(y + x). 5. (α + β)x = α x+ βx.

3. α (βx) = (αβ) x.

6.Существует нулевой вектор 0 =(0 0…0) такой, что x + 0 = x для любого вектора х.

7. Для любого вектора х существует противоположныйвектор (—-х) такой, что х + (—- х)= 0.

8. 1· х= х для любого вектора х.

Линейное пространство Rⁿ называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n +1)векторов уже являются зависимыми.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространство Rⁿ называется базисом.

Каждый вектор х линейного пространства R можно представить единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса:

x=x ₁ e ₁ +x ₂ e ₂ +…+x _n e _n, (11)

где x ₁ ,x ₂ …x _n — координаты вектора х относительно базиса e ₁, e ₂ …e _n.

Пример: Образуют ли векторы a = (2,1,1); b = (-1,1,0), c = (2;-2;3) базис пространства R³? Если да, то разложить по этому базису вектор d = (1, -4,5).

Решение:

Три вектора образуют базис в пространстве R³, если они линейно независимы.

Для проверки линейной независимости системы из векторов а, b, c составим определитель, столбцы которого представляют собой координаты этих векторов.

= = =9 .

Т.к. , то а, b, c— линейно независимы и образуют базис. Коэффициенты разложения вектора d в этом базисе определяем путём приравнивания d линейной + комбинации векторов базиса:

d= α ₁a+ α₂ b +α₃ c.

Подставим значения координат

(1, -4,5)= α₁·(2,1,1) + α₂·(-1,1,0) +α₃·(2,-2,3);

(1, -4,5)= (2α₁, 1α₁, 1α₁) + (-1α₂, 1α₂, 0) + (2α₃, -2α₃, 3α₃)

(1, -4,5)= (2α₁— α₂+2α₃, α₁+ α₂—2α₃, α₁+3α₃).

Векторы равны, когда равны их соответствующие координаты. Для определения коэффициентов разложения получаем систему уравнения:

Выписываем расширенную матрицу и преобразуем по методу Гаусса:

….. . Отсюда, α₁=-1; α₂=1; α₃=2.

Следовательно, d= - a+ b +2 c.

Площадь треугольника

, ,

.

Объем тетраэдра с вершинами в точках , , ,

.

Контрольные вопросы

(параллельно с вопросами осуществляется показ соответствующего фрагмента презентации «Векторы и действия над ними»)

1. Что такое вектор на плоскости и в трехмерном пространстве? (ОК-1, ОК-2)

2. Что называется длиной (модулем) вектора? (ОК-1, ОК-2)

3. Как определяется произведение вектора на число? (ОК-1, ОК-2)

4. По каким правилам производится сложение и вычитание векторов на плоскости? (ОК-1, ОК-2)

5. Что называется скалярным произведением двух векторов? (ОК-1, ОК-2)

6. Как найти длину вектора, произведение вектора на число, сумму и разность векторов, их скалярное произведение и косинус угла между векторами на плоскости и в трехмерном пространстве, используя лишь координаты векторов? (ОК-1, ОК-2)

7.Что называется n -мерным вектором и n -мерным векторным пространством (пространством Rⁿ)? (ОК-1, ОК-2)

8. Что называется базисом линейного пространства? (ОК-1, ОК-2)

9.Сформулируйте теорему о разложении элемента линейного пространства по элементам базиса? (ОК-1, ОК-2)

10. Дайте определение векторного произведения. (ОК-1, ОК-2)

11. Перечислите свойства векторного произведения. (ОК-1, ОК-2)

12. Что называется смешанным произведение векторов? (ОК-1, ОК-2)

13. Перечислите свойства смешанного произведения векторов. (ОК-1, ОК-2)

14. В чем заключается геометрический смысл векторного; смешанного произведения векторов? (ОК-1, ОК-2)

Практические задания общие (ОК-1, ОК-2):

№1. Зная координаты векторов

Найдите координаты вектора:

№2. Вычислите длину вектора:

№3. Даны векторы , , . Найдите скалярное произведение суммы двух первых векторов на третий.

№4. Даны векторы и . Найдите координату , если известно, что .

№5. Вычислить площадь параллелограмма и треугольника, построенных на векторах , где , угол между векторами и равен .

№6. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

№7. Являются ли векторы а =(1,3,-1), b=(0,2,-2), с =(1,-2,1) линейно зависимыми?

№8. Дан параллелограмм АВСD и вне него точка М. Разложите по векторам вектор где О- точка пересечения прямых АС и ВD,

Математический диктант «Векторная алгебра»

(ОК-1, ОК-2,ОК-11,ПК-1, ПК-25):

Вариант 1

1. Обосновать, может ли вектор составлять с координатными осями , и углы , , Если да, привести пример такого вектора.

2. Известно, что Найти

3. При каком условии на ненулевые векторы и справедливо равенство

4. Даны четыре точки:

Определить:

а) единичный вектор направления

б) косинус угла между векторами и

в) лежат ли точки в одной плоскости;

г) тип четырёхугольника

д) площадь четырёхугольника

5. Даны четыре вектора:

Определить:

а) ориентацию тройки векторов

б) объём тетраэдра, построенного на векторах как на сторонах.

в) разложить вектор по базису .

Вариант 2

1. Обосновать, может ли вектор составлять с координатными осями , и углы Если да, привести пример такого вектора.

2. Известно, что Найти

3. При каком условии на ненулевые векторы и справедливо неравенство ?

/4. Даны четыре точки: , , ,

Определить:

а) единичный вектор направления

б) косинус угла между векторами и

в) лежат ли точки в одной плоскости;

г) тип четырёхугольника

д) площадь четырёхугольника

5. Даны четыре вектора:

Определить:

а) ориентацию тройки векторов

б) объём тетраэдра, построенного на векторах как на сторонах.

в) Разложить вектор по базису

Вариант 3

1. Обосновать, может ли вектор составлять с координатными осями , и углы Если да, привести пример такого вектора.

2. Известно, что угол между векторами и равен Найти

3. При каком условии на ненулевые векторы и справедливо неравенство

4. Даны четыре точки:

Определить:

а) единичный вектор направления

б) косинус угла между векторами и

в) лежат ли точки в одной плоскости;

г) тип четырёхугольника ;

д) площадь четырёхугольника .

5. Даны четыре вектора:

Определить:

а) ориентацию тройки векторов

б) объём тетраэдра, построенного на векторах как на сторонах.

в) Разложить вектор по базису