Лабораторная работа № 2

Определители квадратных матриц.
Миноры и алгебраические дополнения
элементов определителя. Формулы Крамера.
Обратная матрица

1. Цель работы

Приобретение умений вычислять определители, находить миноры и алгебраические дополнения, решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера, находить обратные матрицы, в том числе и средствами математического пакета MathCAD.

2. Содержание работы

1) Вычислите определитель 2-го порядка (табл. 1). Решение оформите в тетради.

2) Вычислите определитель 3-го порядка матрицы A (табл. 2) двумя способами: по правилу треугольников и по теореме разложения. Решение оформите в тетради.

3) Найдите обратную матрицу A ^–1 матрицы A (табл. 2). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

4) Используя программу MathCAD, вычислите определитель матрицы B (табл. 3). Выполненное задание отчитайте преподавателю.

5) Используя программу MathCAD, вычислите обратную матрицу B ^–1 матрицы B (табл. 3). Выполненное задание отчитайте преподавателю.

6) Найдите решение системы (табл. 4) по формулам Крамера и с помощью функции Find, используя программу MathCAD,. Выполненное задание отчитайте преподавателю.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Определителем 2-го порядка матрицы называется число, обозначаемое символами D, det A, | A |, и вычисляемое по правилу: .

Пример 1. .

Определителем 3-го порядка матрицы называется число, обозначаемое символами D, det A, | A |, и вычисляемое по правилу Сарруса (правилу треугольников):

.

Для лучшего запоминания правила треугольников приведем схему:

Пример 2.

.

Аналогично определяются определители порядка старше третьего.

Минором элемента a_ij определителя n -го порядка называется число M_ij, равное определителю порядка n –1, который получается из данного вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя n -го порядка называется число A_ij, вычисляемое по формуле A_ij = (–1) ^{i + j} × M_ij.

Пример 3. Минор элемента а ₃₂ = 3 определителя равен: , а алгебраическое дополнение этого элемента равно .

Теорема (разложения). 1) Для каждой квадратной матрицы А порядка n сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения равна определителю матрицы A. 2) Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополнения другой строки (или столбца) равна нулю.

Пример 4. .

В примере выбрана третья строка, т.к. элемент , а это облегчает вычисление. По той же причине можно выбрать второй столбец.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

где числа a_ij – коэффициенты системы, числа b ₁, b ₂, b ₃ – свободные члены, переменные x ₁, x ₂, x ₃ – неизвестные системы.

Решением системы называется упорядоченная тройка чисел (a; b; g), при подстановке которых в систему вместо неизвестных каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.

Для нахождения решения составим четыре определителя 3-го порядка: , , , . Формулы Крамера получаются, если из системы исключать последовательно по две неизвестные, используя теорему разложения для столбцов. В результате при D ¹ 0 получим формулы Крамера для решения системы:

, , .

Пример 5. Решите систему по формулам Крамера.

Решение. Составим и вычислим четыре определителя 3-го порядка: , , , .

По формулам Крамера получим: , , .

Ответ: (1; 2; 3).

Обратная матрица определяется в связи с необходимостью введения операции, аналогичной делению для решения матричных уравнений вида AX = B и XA = B, где X – неизвестная матрица.

Матрица A ^–1 называется обратной для квадратной матрицы A порядка n, если выполняются равенства A ^–1× A = A × A ^–1 = E_n, где E_n – единичная матрица порядка n.

Квадратная матрица A называется невырожденной, если | A |¹0. В противном случае матрица A называется вырожденной.

Теорема. Если квадратная матрица порядка n невырожденная, то она имеет обратную матрицу, которая вычисляется по формуле: , где A_ij – алгебраические дополнения элементов a_ij матрицы A соответственно.

Пример 6. Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. Вычислим определитель исходной матрицы: , следовательно, матрица A невырожденная и имеет обратную. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы A:

, ,

, ,

, ,

, ,

.

По теореме об обратной матрице получим:

.

Проверка:

– верно и

– верно.

Ответ: .

***

Настройка окон программы MathCAD для работы с матрицами:

· На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки и (если главной панели инструментов на экране нет, то V iew ® Toolbars ® M ath). Первая кнопка открывает панель Calculator, а вторая – панель Matrix.

Для вычисления определителя или обратной матрицы:

· Нажмите кнопку на панели Matrix.

· В появившемся окне Insert Matrix укажите число строк (Rows) и столбцов (Columns) матрицы и щелкните на кнопке OK.

· В появившемся поле введите элементы матрицы.

· Используя клавиатуру, стрелкой выйдите за границы матрицы.

· Для вычисления определителя матрицы нажмите кнопку на панели Matrix, а для нахождения обратной матрицы – кнопку на этой же панели.

· Используя панель Calculator, нажмите знак «=». Для получения простых дробей вместо знака «=» нужно использовать знак «®», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«×».

Для решения систем линейных уравнений с помощью функции Find:

· Введите с клавиатуры Given и нажмите Enter.

· Введите заданную систему уравнений. Знак «=» следует вводить при помощи комбинации клавиш Ctrl+«=». В конце каждого уравнения нажмите Enter.

· Введите с клавиатуры Find и в скобках через запятую укажите переменные, подлежащие определению. Например, Find(x,y,z).

· Введите знак «®», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«×» и щелкните на свободном поле.

4. Индивидуальные задания

Таблица 1

№ вар.	Задание	№ вар.	Задание	№ вар.	Задание

Продолжение табл. 1

№ вар.	Задание	№ вар.	Задание	№ вар.	Задание

Таблица 2

№ вар.	A	№ вар.	A	№ вар.	А

Продолжение табл. 2

№ вар.	A	№ вар.	A

Таблица 3

№ вар.	В	№ вар.	В

Продолжение табл. 3

№ вар.	В	№ вар.	В

Таблица 4

№ вар.	Задание	№ вар.	Задание

Продолжение табл. 4

№ вар.	Задание	№ вар.	Задание