Определители квадратных матриц.
Миноры и алгебраические дополнения
элементов определителя. Формулы Крамера.
Обратная матрица
1. Цель работы
Приобретение умений вычислять определители, находить миноры и алгебраические дополнения, решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера, находить обратные матрицы, в том числе и средствами математического пакета MathCAD.
2. Содержание работы
1) Вычислите определитель 2-го порядка (табл. 1). Решение оформите в тетради.
2) Вычислите определитель 3-го порядка матрицы A (табл. 2) двумя способами: по правилу треугольников и по теореме разложения. Решение оформите в тетради.
3) Найдите обратную матрицу A –1 матрицы A (табл. 2). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.
4) Используя программу MathCAD, вычислите определитель матрицы B (табл. 3). Выполненное задание отчитайте преподавателю.
5) Используя программу MathCAD, вычислите обратную матрицу B –1 матрицы B (табл. 3). Выполненное задание отчитайте преподавателю.
6) Найдите решение системы (табл. 4) по формулам Крамера и с помощью функции Find, используя программу MathCAD,. Выполненное задание отчитайте преподавателю.
|
|
3. Общие сведения и примеры выполнения заданий
Определителем 2-го порядка матрицы называется число, обозначаемое символами D, det A, | A |, и вычисляемое по правилу: .
Пример 1. .
Определителем 3-го порядка матрицы называется число, обозначаемое символами D, det A, | A |, и вычисляемое по правилу Сарруса (правилу треугольников):
.
Для лучшего запоминания правила треугольников приведем схему:
Пример 2.
.
Аналогично определяются определители порядка старше третьего.
Минором элемента aij определителя n -го порядка называется число Mij, равное определителю порядка n –1, который получается из данного вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя n -го порядка называется число Aij, вычисляемое по формуле Aij = (–1) i + j × Mij.
Пример 3. Минор элемента а 32 = 3 определителя равен: , а алгебраическое дополнение этого элемента равно .
Теорема (разложения). 1) Для каждой квадратной матрицы А порядка n сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения равна определителю матрицы A. 2) Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополнения другой строки (или столбца) равна нулю.
Пример 4. .
В примере выбрана третья строка, т.к. элемент , а это облегчает вычисление. По той же причине можно выбрать второй столбец.
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:
где числа aij – коэффициенты системы, числа b 1, b 2, b 3 – свободные члены, переменные x 1, x 2, x 3 – неизвестные системы.
|
|
Решением системы называется упорядоченная тройка чисел (a; b; g), при подстановке которых в систему вместо неизвестных каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.
Для нахождения решения составим четыре определителя 3-го порядка: , , , . Формулы Крамера получаются, если из системы исключать последовательно по две неизвестные, используя теорему разложения для столбцов. В результате при D ¹ 0 получим формулы Крамера для решения системы:
, , .
Пример 5. Решите систему по формулам Крамера.
Решение. Составим и вычислим четыре определителя 3-го порядка: , , , .
По формулам Крамера получим: , , .
Ответ: (1; 2; 3).
Обратная матрица определяется в связи с необходимостью введения операции, аналогичной делению для решения матричных уравнений вида AX = B и XA = B, где X – неизвестная матрица.
Матрица A –1 называется обратной для квадратной матрицы A порядка n, если выполняются равенства A –1× A = A × A –1 = En, где En – единичная матрица порядка n.
Квадратная матрица A называется невырожденной, если | A |¹0. В противном случае матрица A называется вырожденной.
Теорема. Если квадратная матрица порядка n невырожденная, то она имеет обратную матрицу, которая вычисляется по формуле: , где Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы A соответственно.
Пример 6. Найдите обратную матрицу для матрицы .
Решение. Вычислим определитель исходной матрицы: , следовательно, матрица A невырожденная и имеет обратную. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы A:
, ,
, ,
, ,
, ,
.
По теореме об обратной матрице получим:
.
Проверка:
– верно и
– верно.
Ответ: .
***
Настройка окон программы MathCAD для работы с матрицами:
· На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки и (если главной панели инструментов на экране нет, то V iew ® Toolbars ® M ath). Первая кнопка открывает панель Calculator, а вторая – панель Matrix.
Для вычисления определителя или обратной матрицы:
· Нажмите кнопку на панели Matrix.
· В появившемся окне Insert Matrix укажите число строк (Rows) и столбцов (Columns) матрицы и щелкните на кнопке OK.
· В появившемся поле введите элементы матрицы.
· Используя клавиатуру, стрелкой выйдите за границы матрицы.
· Для вычисления определителя матрицы нажмите кнопку на панели Matrix, а для нахождения обратной матрицы – кнопку на этой же панели.
· Используя панель Calculator, нажмите знак «=». Для получения простых дробей вместо знака «=» нужно использовать знак «®», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«×».
Для решения систем линейных уравнений с помощью функции Find:
· Введите с клавиатуры Given и нажмите Enter.
· Введите заданную систему уравнений. Знак «=» следует вводить при помощи комбинации клавиш Ctrl+«=». В конце каждого уравнения нажмите Enter.
· Введите с клавиатуры Find и в скобках через запятую укажите переменные, подлежащие определению. Например, Find(x,y,z).
· Введите знак «®», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«×» и щелкните на свободном поле.
4. Индивидуальные задания
Таблица 1
№ вар. | Задание | № вар. | Задание | № вар. | Задание |
Продолжение табл. 1
№ вар. | Задание | № вар. | Задание | № вар. | Задание |
Таблица 2
№ вар. | A | № вар. | A | № вар. | А |
Продолжение табл. 2
№ вар. | A | № вар. | A | |
Таблица 3
№ вар. | В | № вар. | В |
Продолжение табл. 3
|
|
№ вар. | В | № вар. | В |
Таблица 4
№ вар. | Задание | № вар. | Задание |
Продолжение табл. 4
№ вар. | Задание | № вар. | Задание |