Операции над матрицами

Кафедра «Высшая математика»

лабораторный практикум по математике
с информационной поддержкой

(использование программы mathcad):

методические указания
по выполнению лабораторных работ
для студентов 1 курса
по направлению 270800.62 «Строительство»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

Волжский 2012

УДК 51: 004.9

Лабораторный практикум по математике с информационной поддержкой (использование программы MathCAD): методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов 1 курса по направлению 270800.62 «Строительство» (квалификация (степень) «бакалавр») / ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ; [сост. Е. В. Абрамов, В. Н. Торопшина]. – Волжский: ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ, 2012. – 117 с.

Методические указания содержат 9 лабораторных работ по основным разделам математики, изучаемые студентами 1 курса по направлению 270800.62 «Строительство» (квалификация (степень) «бакалавр»). Каждая лабораторная работа включает в себя варианты индивидуальных заданий, образцы их выполнения и необходимые для этого краткие теоретические сведения. Большое внимание уделяется решению математических задач с помощью программы MathCAD с целью вооружить бакалавров-строителей знаниями компьютерных технологий для реализации будущей профессиональной деятельности.

Библиогр. 7 Табл. 31 Ил. 42

Содержание

Лабораторная работа № 1. Операции над матрицами …………………………………………..

Лабораторная работа № 2. Определители квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Формулы Крамера. Обратная матрица …………..

Лабораторная работа № 3. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов …………………………..

Лабораторная работа № 4. Прямая на плоскости ………………………………………………...

Лабораторная работа № 5. Кривые второго порядка ………….....................................................

Лабораторная работа № 6. Построение линий в полярной системе координат. Построений на плоскости линий, заданных параметрически........

Лабораторная работа № 7. Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы ………………..............................................

Лабораторная работа № 8. Вычисление производных функций. Геометрический и физический смысл производной. Производные высших порядков ……………………………………..

Лабораторная работа № 9. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Исследование функций и построение их графиков ………………..

Список литературы…………………………………………………..

Лабораторная работа № 1.

Операции над матрицами

1. Цель работы

Приобретение умений выполнять линейные и нелинейные операции над матрицами, в том числе и средствами математического пакета MathCAD.

2. Содержание работы

1) Найдите A + B, a× A, A – B, A × B, A ^T для заданных матриц A, B и числа a (табл. 1). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

2) Используя программу MathCAD, найдите матрицу где Е ₂ – единичная матрица, транспонированная матрица, а матрицы A, B и С заданы в табл. 2. Выполненное задание отчитайте преподавателю.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Числовой матрицей или просто матрицей называется прямоугольная таблица чисел a_ij, состоящая из m строк и n столбцов: . Числа a_ij называются элементами матрицы. Первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца, в котором стоит элемент.

Числа m и n называются размерностью (порядком) матрицы.

Если m ¹ n, то матрица называется прямоугольной размера m ´ n.

Если m = 1, то матрица называется матрицей-строкой размера 1´ n.

Если n = 1, то матрица называется матрицей-столбцом размера m ´1.

Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол. Побочной называется диагональ, идущая из левого нижнего в правый верхний.

Квадратная матрица, у которой главная диагональ состоит из единиц, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной порядка n и обозначается: .

Прямоугольная матрица размера m ´ n называется нулевой, если все ее элементы равны нулю и обозначается: .

Две матрицы A и B одинакового размера m ´ n называются равными, если соответствующие элементы этих матриц равны, т.е a_ij = b_ij. Обозначение: A = B.

Пример 1. Матрицы и равны.

Линейные операции над матрицами.

1) Суммой двух матриц A и B одинакового размера m´n называется матрица C того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. c_ij = a_ij + b_ij. Обозначение: C = A + B.

Пример 2.

2) Произведением матрицы A размера m´n на действительное число a называется матрица C того же размера m ´ n, элементы которой равны соответствующим элементам матрицы A, умноженным на число a, т.е. c_ij = a a_ij. Обозначение: C = a A.

Пример 3. .

3) Разностью двух матриц A и B одинакового размера m´n называется матрица C того же размера, элементы которой равны разностям соответствующих элементов матриц A и B, т.е. c_ij = a_ij – b_ij. Обозначение: C = A – B.

Пример 4.

Основные свойства линейных операций над матрицами.

1) A + B = B + A. 6) (a + b) A = a A + b A.

2) (A + B) + C = A + (B + C). 7) a(b A) = b(a A) = (ab) A.

3) A + O = O + A = A. 8) 1× A = A.

4) A – A = O. 9) 0× A = O.

5) a(A + B) = a A + a B.

Нелинейные операции над матрицами.

1) Произведением матрицы A размера m´n на матрицу B размера n´k называется матрица C размера m ´ k, каждый элемент c_ij которой равен сумме произведений элементов i -строки матрицы A на элементы j -го столбца матрицы B. Обозначение: C = AB.

Пример 5. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) произведение матриц и не определенно, т.к. количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй матрицы.

Квадратные матрицы A и B порядка n называются коммутативными, если AB = BA.

Пример 6. Матрицы и коммутативны, т.к. выполняется .

2) Целой положительной степенью A^k (k > 1) квадратной матрицы A называется произведение k матриц, равных A, т.е. .

По определению полагают: A ⁰ = E_n, A ¹ = A, A^k × A^s = A^k ^{+ s}, (A^k) ^s = A^k ^×^s.

Пример 7. Если , то .

3) Если в матрице A размера m ´ n заменить строки соответствующими столбцами, то получится матрица размера n ´ m, которая называется транспонированной к матрице A и обозначается A ^T.

Пример 8. а) Если , то ;

б) если , то ;

в) если , то .

Основные свойства нелинейных операций над матрицами.

1) (AB) C = A (BC). 6) (AB)^T = B ^T× A ^T.

2) A (B + C) = AB + AC. 7) (a A)^T = a× A ^T.

3) (B + C) A = BA + CA. 8) (A ^T)^T = A.

4) AE_n = E_nA = A. 9) .

5) (A + B)^T = A ^T + B ^T.

***

Настройка окон программы MathCAD для работы с матрицами:

· На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки и (если главной панели инструментов на экране нет, то V iew ® Toolbars ® M ath). Первая кнопка открывает панель Calculator, а вторая – панель Matrix.

Для ввода матриц в рабочее поле и выполнения действий над ними:

· Нажмите кнопку на панели Matrix.

· В появившемся окне Insert Matrix укажите число строк и столбцов матрицы и щелкните на кнопке OK.

· В появившемся поле введите элементы матрицы.

· Используя клавиатуру, стрелкой выйдите за границы матрицы и, используя панель Calculator, введите нужную операцию.

· Операции над матрицами выполняются так же, как и действия с числами на калькуляторе: используются знаки «+» и «´» для сложения матриц и умножения матрицы на число, умножения матриц. Для получения в ответе простых дробей вместо знака «=» нужно использовать знак «®», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«×».

4. Индивидуальные задания

Таблица 1