2015-10-22
4019
Сначала систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:
1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной).
Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.
Рассмотрим простейшую систему уравнений 
и решим ее методом Гаусса.
На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы:
.
Справка: Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: 
.
Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: .
Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.
После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.
Существуют следующие элементарные преобразования:
1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки: 
2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу 
.
В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: 
.
3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить.
4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу 
.
Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: 
.
Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.
5) К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: .
Умножаем первую строку на -2: 
,
и ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –2:
.
Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2:
.
Строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.
На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:
Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:
«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: 
»
«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: 
, и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: 
»
«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: 
. Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: 
»
«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: 
. Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »
Вернемся к нашей системе . Она уже почти решена.
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Кстати, почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.
(2) Делим вторую строку на 3.
Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: 
.
В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид.
В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:
Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.
В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: 
.
Рассмотрим первое уравнение системы 
и подставим в него уже известное значение «игрек»:
Ответ: 
Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
Пример.
Решить методом Гаусса систему уравнений:
Запишем расширенную матрицу системы:
Результат, к которому мы придём в ходе решения:
В третьем уравнении у нас уже готовый результат: 
Смотрим на второе уравнение: 
. Значение «зет» уже известно, таким образом:
И, наконец, первое уравнение: 
. «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:
Ответ:
