Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса

5 6 7 8 9 10 11

Этот метод также рассмотрим в дальнейшем на примере.

Пример 3.1. Дана система 3-го порядка. Решить систему:

а) Методом Крамера (по формулам Крамера);

б) С помощью обратной матрицы (матричным методом).

1).

а) Решаем по формулам Крамера. Найдем:

значит система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера:

; ; .

Составим определители для неизвестных и найдем их:

;

; ; .

Проверка. Подставим найденные значения в исходную систему:

б) Решим систему матричным методом.

Решением будет .

Найдем обратную матрицу по формуле .

- согласно предыдущему способу. Составим , для этого найдем алгебраические дополнения:

;	;	;
;	;	;
;	;	.

Ответ: ; ; .

2).

Найдем определитель системы:

Так как система неоднородная и , то система несовместна (не имеет решения).

3).

Найдем определитель системы:

Определители для неизвестных , так как имеют нулевой столбик. Значит система совместна и определена, имеет единственное нулевое решение:

4).

Найдем определитель системы:

Система совместна и неопределена, так как она однородная. Запишем систему в виде:

- уберем второе уравнение (убирать можно любое).

Далее запишем:

Решим методом Крамера:

Итак - общее решение,

где и - зависимые переменные;

- независимая переменная.

Найдем частное решение. Т.е. положим .

Получим: .

Сделаем проверку:

- верно.

Задание 3.1. Решить системы линейных алгебраических уравнений

а) Методом Крамера (по формулам Крамера);

б) С помощью обратных матриц.

Сделать проверку.

№1.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

№2.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

№3.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

№4.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

Пример 3.1. Дана система линейных алгебраических уравнений.

Решить ее:

А) методом Гаусса

б) методом Жордана-Гаусса.

Решение:

а) Решаем методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

1шаг:

Элементы первой строки умножаем на 2 и сложим с соответствующими элементами 2-й строки, затем элемент 1-й строки умножим на 3 и сложим с 3-й строкой, умножим на 4 и сложим с 4-й строкой. Получим эквивалентную матрицу:

~ ~