2015-10-22
969
Введем в трехмерном пространстве прямоугольную декартову систему координат как совокупность трех взаимно-перпендикулярных осей 
, называемых координатными осями, и точки О- началом координат.
Единичные векторы 
направленные вдоль осей соответственно, образуют прямоугольный базис.
Любой вектор пространства можно единственным образом разложить по базисным векторам, значит
. (6)
Числа 
называются координатами вектора 
в базисе .
Можно также записать: 
ТЕОРЕМА.
Декартовы прямоугольные координаты вектора в базисе являются его проекциями на соответствующие оси координат.
Д-во.
Перенесем вектор к началу координат и проведем через конечную точку этого вектора плоскости, параллельные координатным. Тогда вектор как диагональ параллелепипеда представима в виде:
(7)
Где 
- углы, образованные вектором с координатными осями соответственно. Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису получаем:
(8)
Ч.Т.Д.
По теореме Пифагора для диагонали параллелепипеда:
(9)
Числа 
называются направляющими косинусами. Из формул (8) и (9) получим:
(10)
Тогда для них выполняется: 
Если 
- единичный вектор, т.е. 
, то его координатами являются направляющие косинусы: 
.
Согласно теореме, при выполнении линейных операций над векторами, те же операции можно произвести с их координатами.
Пусть даны два коллинеарных вектора: 
Если одно или два числа в знаменателе =0, то запись становится символической, т.к. не утверждает деления на ноль, а говорит лишь о пропорциональности координат коллинеарных векторов.
