Линейная зависимость между векторами

Назовем линейной комбинацией векторов вектор вида

, (3)

где числа называются коэффициентами линейной комбинации векторов.

Если вектор представим в виде (3), то говорят, что он РАЗЛОЖЕН по векторам .

Векторы называются линейно-зависимыми, если найдутся такие числа , не все одновременно равные нулю, что выполняется равенство:

(4)

Если же равенство (4) выполняется только при условии , то векторы называются линейно-независимыми.

ТЕОРЕМА.

Если векторы линейно-зависимы, то один из этих векторов является линейной комбинацией других.

Д-во.

Если векторы линейно-зависимы, то выполняется условие (4).

Пусть .

Значит, вектор является линейной комбинацией векторов .

Ч.Т.Д.

ПРИМЕРЫ.

1. - прямая.

Два коллинеарных вектора линейно зависимы.

линейно-зависимы.

СЛЕДСТВИЕ. Один ненулевой вектор линейно независим.

2. - плоскость.

Три компланарных вектора линейно зависимы.

а)

б)

- линейно-зависимы.

СЛЕДСТВИЕ. Два неколлинеарных вектора линейно независимы.

3. - трехмерное пространство.

Любые 4 вектора линейно-зависимы.

Д-во аналогично предыдущему случаю.

СЛЕДСТВИЕ. З вектора линейно независимы, если они некомпланарны.

Базис пространства- совокупность линейно-независимых векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пространства.

Векторы, составляющие базис, называются базисными.

ПРИМЕРЫ

В базис - один вектор.

В базис - два неколлинеарных вектора.

В базис - три некомпланарных вектора. (5)

Коэффициенты при этом называются координатами вектора в базисе , причем это разложение единственно.

Линейные операции над векторами в данном базисе сводятся к линейным операциям над числами- координатами векторов.

ТЕОРЕМА 1. При сложении векторов их соответствующие координаты суммируются.

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.