Взаимное пересечение поверхностей

План:

12.1. Общие положения

12.2. Пересечение многогранников

12.3. Способ секущих плоскостей

12.4. Способ концентрических сфер

12.5. Способ эксцентрических сфер

12.6. Особые случаи пересечения. Теорема Монжа.

Общие положения

В пересечении поверхностей получаются плоские или пространственные линии, которые рассматриваются как множество точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям. Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее отдельным точкам.

Общим способом построения этих точек является способ поверхностей-посредников:

— секущих плоскостей;

— сферических поверхностей.

Каким бы способом ни производилось построение линии пересечения поверхностей, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать определенную последовательность.

1. Для построения линий пересечения выбирают вспомогательную плоскость (или поверхность) с таким расчетом, чтобы в пересечении с каждой из заданных поверхностей получились простые линии: прямые или окружности.

2. Далее обе поверхности пересекают этой вспомогательной плоскостью (или поверхностью) и определяют линию пересечения сначала с одним телом, а затем — с другим. В пересечении этих линий находят общие точки:

в первую очередь — опорные (высшую, низшую и т.д.), так как они всегда позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения, и где между ними имеет смысл определять промежуточные точки для более точного построения линии пересечения поверхностей;

затем — промежуточные.

3. Найденные точки соединяют ломаной или плавной кривой, которая будет искомой линией пересечения заданных поверхностей.

4. Определение видимости линии пересечения производят отдельно для каждого участка, ограниченного точками видимости, при этом видимость всего участка совпадает с видимостью какой-нибудь случайной точки этого участка.

На рис. 150 показано построение точек 1 и 2 линии пересечения; K и K ₁ — пересекающиеся поверхности; P — одна из вспомогательных секущих плоскостей.

Рис. 150