2017-11-30
707
Раздел 1. Математический анализ.
Содержание:
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
2. Определение производной функции.
4. Геометрический и механический смысл производной.
5. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл.
6. Правила и формулы дифференцирования.
7. Производные элементарных функций.
8. Вторая производная и производные высших порядков.
9. Практическое занятие: Нахождение производных по алгоритму. Вычисление производных сложных функций.
10. Контрольная работа №1.
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
Получили неопределённость 
- т.е. предел может не существовать, может существовать и при этом быть конечным или бесконечным.
2. Определение производной функции.
3. Дифференцируемая функция.
4. Геометрический и механический смысл производной.
Геометрический смысл производной.
Механический смысл производной.
5. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл.
Дифференциалом функции y=f(x) в x0 называется главная, линейная относительно 
, часть приращения функции.
.
Покажем, что 
и dy эквивалентные бесконечно малые при 
:
(
бесконечно малая).
Геометрический смысл дифференциала:
Проведем к графику функции y=f(x) в точку M(x;y) касательную MT и рассмотрим ординату этой касательной для точки 
.
На рисунке 
, 
Из прямоугольного треугольника MAB имеем: 
, т.е. 
.
Но, согласно геометрическому смыслу производной, 
.
Поэтому 
или 
.
Это означает, что дифференциал функции y=f(x) в точке x0 равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение 
.
6. Правила и формулы дифференцирования.
Обозначение производной 
, где 
– это любая функция.
-
, с – любое число.
Пример: 
-
.
Пример: 
Число, стоящее перед переменной всегда выносим за скобку и находим производную переменной.
Пример: 
, т. к. сократим на 4.
Пример: 
Пример: 
Находим значение производной только там, где стоит знак производной, т.е. штрих.
Пример: 
-
7. Производные элементарных функций.
8. Вторая производная и производные высших порядков.
