Тема 1.1. Дифференциальное исчисление

Раздел 1. Математический анализ.

Содержание:

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

2. Определение производной функции.

3. Дифференцируемая функция.

4. Геометрический и механический смысл производной.

5. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл.

6. Правила и формулы дифференцирования.

7. Производные элементарных функций.

8. Вторая производная и производные высших порядков.

9. Практическое занятие: Нахождение производных по алгоритму. Вычисление производных сложных функций.

10. Контрольная работа №1.

 

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

 

Получили неопределённость - т.е. предел может не существовать, может существовать и при этом быть конечным или бесконечным.

 

 

2. Определение производной функции.

 

3. Дифференцируемая функция.

 

 

4. Геометрический и механический смысл производной.

Геометрический смысл производной.

Механический смысл производной.

 

5. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл.

Дифференциалом функции y=f(x) в x₀ называется главная, линейная относительно , часть приращения функции.

.

Покажем, что и dy эквивалентные бесконечно малые при :

( бесконечно малая).

Геометрический смысл дифференциала:

Проведем к графику функции y=f(x) в точку M(x;y) касательную MT и рассмотрим ординату этой касательной для точки .

На рисунке ,

Из прямоугольного треугольника MAB имеем: , т.е. .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, .

Поэтому или .

Это означает, что дифференциал функции y=f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение .

 

6. Правила и формулы дифференцирования.

Обозначение производной , где – это любая функция.

1. , с – любое число.

Пример:

1. .

Пример:

Число, стоящее перед переменной всегда выносим за скобку и находим производную переменной.

1. 

Пример:

, т. к. сократим на 4.

1. 

Пример:

1. 

Пример:

Находим значение производной только там, где стоит знак производной, т.е. штрих.

1. 

Пример:

1. - производная сложной функции.

 

7. Производные элементарных функций.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

1. 

1. 

1. 

 

8. Вторая производная и производные высших порядков.