Построение мультипликативной модели временного ряда

Имеются поквартальные данные об объеме выпуска товара фирмой за последние три года, представленные в таблице 4.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда мето­дом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в таблице 11.

Таблица 11 - Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели.

Ошибка! Ошибка связи.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользя­щие средние (графа 6 таблицы 10). Используем эти оценки для расче­та значений сезонной компоненты S (таблица 12). Для этого най­дем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликатив­ной модели выражается в том, что сумма значений сезонной ком­поненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).

Таблица 12 - Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели.

Ошибка! Ошибка связи.

Имеем:

.

Определим корректирующий коэффициент: .

Определим скорректированные значения сезонной компо­ненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффи­циент k.

где ,

Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты:

.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: ;

II квартал:

III квартал: ;

IV квартал: .

Занесем полученные значения в таблицу 13 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответ­ствующие значения сезонной компоненты. Тем самым мы полу­чим величины (графа 4 таблицы 13), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 13 - Расчет выровненных значений Τ и ошибок Ε в мультипликативной модели.

Ошибка! Ошибка связи.

Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной моде­ли. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, исполь­зуя уровни . Уравнение тренда имеет следующий вид:

,

.

Подставляя в это уравнение значения t = 1,..., 16, найдем уровни T для каждого момента времени (графа 5 таблицы 13). График уравнения тренда приведен на рисунке 5.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни T на значения сезонной компоненты для соот­ветствующих кварталов. Графически значения представле­ны на рисунке 5.

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели произво­дится по формуле:

,

Численные значения ошибки приведены в графе 7 таблицы 13.

Для сравнения мультипликативной модели с другими моделями временного ряда можно использовать величину абсолютной ошибки:

,

Следовательно, ошибка ε мультипликативной модели составит:

.

Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда в мультипликативной модели составит .

Прогнозирование

Для прогнозирования из двух рассмотренных моделей необходимо выбрать ту, у которой ошибка ε наименьшая. Следовательно, при прогнозировании будет использоваться аддитивная модель, так как .

Таким образом, прогнозное значение уровня временного ряда в аддитив­ной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Объем товаров, выпущенного фирмой в течение первого по­лугодия ближайшего следующего, т. е. четвертого года, рассчитывается как сумма объемов выпущенных товаров в I и во II кварталах четвертого года, соответственно и . Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

.

Получим:

;

.

Значения сезонной компоненты равны: (I квартал); (II квартал). Таким образом,

;

.

Прогноз объема выпуска товаров фирмой на первое полу­годие 2006 года составит:

усл.ед.

Следует отметить, что для осуществления прогноза по мультипликативной модели, прогнозные значения F определяются как:

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ

Задание № 1.

На основе данных, приведенных в таблице 1 Приложения А и соответст­вующих Вашему варианту (таблица 2 Приложение А), требуется:

1. Построить уравнение линейной парной регрессии одного при­знака от другого. Один из признаков, соответствующих Ваше­му варианту, будет играть роль факторного , другой - ре­зультативного . Причинно-следственные связи между при­знаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и ко­эффициент детерминации. Сделать выводы.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и коэффициента корреляции с уровнем значимости 0,05.

4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата Y при прогнозном значении признака-фактора X, составляющим от среднего уровня X. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

5. Дать оценку полученного уравнения с помощью общего F- критерия Фишера.

Задание № 2.

На основе данных, приведенных в таблице 1 Приложении и соответст­вующих Вашему варианту (таблица 2 Приложение А), требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии. Для этого, ос­тавив признак-результат тем же выбрать несколько признаков-факторов из таблицы 1 Приложения А (границы их наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соот­ветствующих Вашему варианту). При выборе факторов нужно руководствоваться как экономическим содержанием, так и формальными подходами (например, матрица парных коэффи­циентов корреляции). Пояснить смысл параметров уравнения.

2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности.

3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (β -коэффициенты).

4. На основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.

5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать вы­воды.

6. Дать оценку полученного уравнения с помощью общего F- критерия Фишера.

Задание № 3.

На основе данных, приведенных в таблице 1 Приложения Б и соответст­вующих Вашему варианту (таблица 2 Приложение Б) провести идентификацию модели с помощью необходимого и достаточного условия идентификации.

Эконометрическая модель содержит три уравнения. Количе­ство эндогенных переменных , экзогенных переменных и вид уравнения определяются вариантом контрольной работы (таблицы 1 и 2 Приложения Б).

Например, для варианта №1 (зачетная книжка заканчивается на 01) формируется система уравнений, содержащая уравнения Y 11 (1-ый вариант, соответствующий уравнению Y 1), Y 21 (1-ый вариант, соответствующий уравнению Y 2), Y 32 (2-ой вариант, со­ответствующий уравнению Y 3) (см. таблицу 3). Коэффициенты при переменных берутся из таблицы 1:

Ошибка! Ошибка связи.

Таким образом, окончательно система уравнений, соответствующая варианту 01, примет вид:

Задание № 4.

Па основе данных, приведенных в таблице 1 Приложения В и соответст­вующих Вашему варианту (таблица 2 Приложение В), требуется:

1. Проанализировать автокорреляцию уровней временного ряда, выявить и охарактеризовать его структуру.

2. Построить аддитивную и мультипликативную модель временного ряда, характеризую­щую зависимость уровней ряда от времени.

3. На основе лучшей модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.