Показатели тесноты связи факторов с результатом

Если факторные признаки различны по своей сущности и/или имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы. К ним относят: частные коэффициенты эластичности, β -коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле: . Частный коэффициент эластичности показывают на сколько процентов в среднем изменяется признак-результат Y с изменением признака-фактора на один процент от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели. В случае линейной зависимости коэффициент эластичности рассчитывается по формуле: , где - коэффициент регрессии.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения изменится признак-результат Y с изменением соответствующего фактора на величину своего среднего квадратического отклонения при неизменном влиянии прочих факторов входящих в уравнение.

По коэффициентам эластичности и β -коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.

Кроме того, коэффициент может интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния фактора на результат . Во множественной регрессии фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели). Косвенное влияние измеряется величиной: , где т- число факторов в модели. Полное влияние фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата – .

Коэффициент частной корреляции измеряет тесноту линейной связи между отдельным фактором и результатом при устранении воздействия прочих факторов модели.

Для качественной оценки тесноты связи можно использовать следующую классификацию:

0.1- 0.3- слабая связь

0.3-0.5 – умеренная связь

0.5-0.7- заметная связь

0.7-0.9- тесная связь

0.9-0.99- весьма тесная

Для расчета частных коэффициентов корреляции могут быть использованы парные коэффициенты корреляции.

Для случая зависимости Yот двух факторов можно вычислить 2 коэффициента частной корреляции:

(2-ой фактор фиксирован).

(1-ый фактор фиксирован).

Это коэффициенты частной корреляции 1-ого порядка (порядок определяется числом факторов, влияние которых на результат устраняется).

Частные коэффициенты корреляции, рассчитанные по таким формулам, изменяются от -1 до +1. Они используются не только для ранжирования факторов модели по степени влияния на результат, но и также для отсева факторов. При малых значениях нет смысла вводить в уравнение m -ый фактор, т.к. качество уравнения регрессии при его введении возрастет незначительно (т.е. теоретический коэффициент детерминации увеличится незначительно).

Коэффициенты множественной детерминации и корреляции характеризуют совместное влияние всех факторов на результат.

По аналогии с парной регрессией можно определить долю вариации результата, объясненной вариацией включенных в модель факторов , в его общей вариации . Ее количественная характеристика - теоретический множественный коэффициент детерминации . Для линейного уравнения регрессии данный показатель может быть рассчитан через β -коэффициенты, как:

- коэффициент множественной корреляции. Он принимает значения от 0 до 1 (в отличие от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, R используется без учета направления связи). Чем плотнее фактические значения располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина . Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат; при значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Оценка значимости полученного уравнения множественной регрессии.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы: (гипотеза о незначимости уравнения регрессии).

Для ее проверки используют F -критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия:

где n -число наблюдений; k - число независимых переменных модели.

По таблицам распределения Фишера находят критическое значение F -критерия . Для этого задаются уровнем значимости (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы и . Здесь m – число параметров модели.

Сравнивают фактическое значение F -критерия с табличным . Если , то гипотезу о незначимости уравнения регрессии не отвергают. Если , то выдвинутую гипотезу отвергают и принимают альтернативную гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии.

Пример 2.

На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих варианту 100, требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии. Для этого, оставив признак-результат тем же выбрать несколько признаков-факторов из приложения 1 (границы их наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующих Вашему варианту). При выборе факторов нужно руководствоваться как экономическим содержанием, так и формальными подходами (например, матрица парных коэффициентов корреляции). Пояснить смысл параметров уравнения.

2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности.

3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (β -коэффициенты).

4. На основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.

5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.

6. Дать оценку полученного уравнения с помощью общего F- критерия Фишера.

Решение:

По условию задачи, результативный признак должен остаться тот же, значит Y - дивиденды, начисленные по результатам деятельности. В качестве факторных признаков выберем следующие:

– балансовая прибыль;

- дебиторская задолженность по результатам деятельности.

Определим уравнение регрессии следующего вида:

Для определения параметров уравнения связи, а также для дальнейших расчетов построим дополнительную таблицу. (Таблица 2)

Для определения параметров двухфакторного уравнения регрессии необходимо решить систему нормальных уравнений:

В нашем случае система нормальных уравнений примет вид:

В результате решения данной системы получим следующие коэффициенты регрессии:

Окончательное уравнение регрессии примет вид:

При отсутствии влияния со стороны факторных признаков, учтенных в данной модели, значение результативного признака будет составлять 17,2714 млн. руб. При изменении балансовой прибыли на 1 млн. руб. произойдет изменение начисленных дивидендов в ту же сторону на 0,02645 млн. руб., а при изменении дебиторской задолженности на 1 млн. руб. следует ожидать изменения величины начисленных дивидендов на 0,00054 млн. руб.

Определим частные коэффициенты эластичности:

Частные коэффициенты эластичности показывают влияние отдельных факторов на результативный показатель. Так, при изменении балансовой прибыли на 1% при неизменности второго фактора произойдет в среднем изменение величины начисленных дивидендов на 0,14%, а при изменении дебиторской задолженности на 1% при фиксированном положении первого фактора произойдет изменение величины начисленных дивидендов в среднем на 0,0014%.

Теперь рассчитаем β -коэффициенты:

Анализ β -коэффициентов показывает, что на величину начисленных дивидендов из двух исследуемых факторов с учетом уровня их вариации большее влияние оказывает балансовая прибыль .

С учетом всех рассчитанных показателей и параметров уравнения регрессии можно сделать вывод о том, что наибольшая связь величины начисленных дивидендов отмечается с размером балансовой прибыли.

Далее, определим парные, частные коэффициенты корреляции и множественный коэффициент корреляции.

I. Парные коэффициенты корреляции: измеряют тесноту связи между двумя из рассматриваемых признаков.

Коэффициент корреляции между факторными признаками, равный -0,683, позволяет оставить в модели оба фактора, так как связь между факторами не тесная .

II. Частные коэффициенты корреляции: характеризуют степень влияния одного из факторов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне.

= ,

Таблица 2 - Дополнительная таблица

Ошибка! Ошибка связи.

Близкая к тесной прямая связь результативного признака наблюдается с балансовой прибылью (0,677), практически отсутствует связь между начисленными дивидендами и дебиторской задолженностью (0,164).

III. Множественный коэффициент корреляции: показывает тесноту связи между результативным и обоими факторными признаками.

Таким образом, выявлена тесная связь между начисленными дивидендами и следующими признаками: балансовая прибыль и дебиторская задолженность.

Множественный коэффициент детерминации определим как квадрат множественного коэффициента корреляции:

На основе коэффициента детерминации делаем вывод, что на вариации величины начисленных дивидендов находится в зависимости от изменения балансовой прибыли и суммы дебиторской задолженности, и на – влиянием прочих неучтенных в модели факторов.