Рассмотрим идеальный колебательный контур, который не обладает активным сопротивлением (рис. 14.1).
Если зарядить конденсатор от сети постоянного напряжения (Uc), установив ключ К в положение «1», а затем перевести ключ К в положение «2», то конденсатор начнет разряжаться через катушку индуктивности, и в цепи
Рис. 14.1. Идеальный колебательный контур (С - емкость конденсатора, L - индуктивность катушки)
появится нарастающий ток i (силу переменного тока обозначают строчной буквой i).
При этом в катушке возникает э.д.с. самоиндукции Е = -L*di/dt (см. формулу 10.15). В идеальном контуре (R = 0) э.д.с. равна напряжению на обкладках конденсатора U = q/C (см. формулу 10.16). Приравняв Е и U, получим
Период свободных колебаний определяется формулой Томпсона: T = 2π/ω0 = 2π√LC. (14.6)
Рис. 14.2. Зависимость заряда, напряжения и тока от времени в идеальном колебательном контуре (незатухающие колебания)
Энергия электрического поля конденсатора Wэл и энергия магнитного поля катушки Wм периодически изменяются со временем:
|
|
Полная энергия (W) электромагнитных колебаний складывается из двух этих энергий. Поскольку в идеальном контуре отсутствуют потери, связанные с выделением теплоты, полная энергия свободных колебаний сохраняется:
Затухающие колебания
В обычных условиях все проводники обладают активным сопротивлением. Поэтому свободные колебания в реальном контуре затухают. На рисунке 14.3 активное сопротивление проводников изображает резистор R.
При наличии активного сопротивления э.д.с. самоиндукции равна сумме напряжений на резисторе и обкладках конденсатора:
После переноса всех слагаемых в левую часть и деления на индуктивность
Рис. 14.3. Реальный колебательный контур
катушки (L) получим дифференциальное уравнение свободных колебаний в реальном контуре:
График таких колебаний представлен на рис. 14.4.
Характеристикой затухания является логарифмический декремент затухания λ = βТз = 2πβ/ωз, где Тз и ωз - период и частота затухающих колебаний соответственно.
Рис. 14.4. Зависимость заряда от времени в реальном колебательном контуре (затухающие колебания)
14.2. Апериодический разряд конденсатора. Постоянная времени. Зарядка конденсатора
Апериодические процессы возникают и в более простых случаях. Если, например, заряженный конденсатор соединить с резистором (рис. 14.5) или незаряженный конденсатор подключить к источнику постоянного напряжения (рис. 14.6), то после замыкания ключей колебаний не возникнет.
Разрядка конденсатора с начальным зарядом между пластинами qmax происходит по экспоненциальному закону:
где τ = RC называется постоянной времени.
|
|
По такому же закону изменяется и напряжение на обкладках конденсатора:
Рис. 14.5. Разряд конденсатора через резистор
Рис. 14.6. Зарядка конденсатора от сети постоянного тока с внутренним сопротивлением r
При зарядке от сети постоянного тока напряжение на обкладках конденсатора нарастает по закону
где τ = rC также называется постоянной времени (r - внутреннее сопротивление сети).