Пусть по выборке достаточно большого объема, , и при заданной доверительной вероятности необходимо определить доверительный интервал для математического ожидания , в качестве оценки которого используется среднее арифметическое (среднее выборочное) .
Закон распределения оценки математического ожидания близок к нормальному (распределение суммы независимых случайных величин с конечной дисперсией асимптотически нормально). Если потребовать абсолютную надежность оценки математического ожидания, то границы доверительного интервала будут бесконечными . Выбор любых более узких границ связан с риском ошибки, вероятность которой определяется уровнем значимости , где значения выбираются достаточно близкими к единице, например, 0,9, 0,95, 0,98, 0,99. Величину называют надежностью или доверительной вероятностью. Интерес представляет максимальная точность оценки, т.е. наименьшее значение интервала. Для симметричных функций минимальный интервал тоже будет симметричным относительно оценки . В этом случае выражение для доверительной вероятности имеет вид , где – абсолютная погрешность оценивания.
|
|
Нормальный закон полностью определяется двумя параметрами – математическим ожиданием и дисперсией . Величина является несмещенной, состоятельной и эффективной оцен-кой математического ожидания, поэтому ее значение принимаем за значе-ние математического ожидания в качестве точечной оценки. Будем пола-гать, что дисперсия известна, тогда выборочное среднее – нор-мально распределенная случайная величина с параметрами . Для такой случайной величины вероятность попадания на симметричный отно-сительно математического ожидания интервал выражается через функцию Лапласа , где . При заданной надежности , уравнение можно решить приближенно с помощью таблицы значений функции Лапласа (приложение, табл. 1). Если точного значения в списке значений нет, то надо найти два бли-жайших к нему значения, одно большее, а другое меньшее, чем , и найти их среднее арифметическое. Известное значение параметра позволяет записать абсолютную погрешность . Теперь можно указать сим-метричный интервал . Полученное соотношение означает, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр (математическое ожидание) с вероятностью (надежностью) , а точность оценки .
При фиксированном объеме выборки из оценки следует, что чем больше доверительная вероятность , тем шире границы доверительного интервала (тем больше ошибка в оценке математического ожидания). Чтобы снизить ошибку в оценке значения, можно увеличить объем выборки. При этом, чтобы снизить относительную погрешность на порядок, необходимо увеличить объем выборки на два порядка.
|
|
Задача 1. По данным наблюдений случайной величины найти доверительный интервал для математического ожидания с надежностью , если известна дисперсия . Выборка представлена таблицей.
Таблица 3
Частичные интервалы | (10;20) | (20;30) | (30;40) | (40;50) |
Частоты | ||||
Решение задачи 1. Найдем объем выборки, для чего просуммируем указанные в таблице частоты: . Среднее выборочное значение вычислим по формуле = . По заданной надежности
= 0,95 найдем, с помощью таблицы, параметр : , откуда = 0,475, = 1,96. Получим доверительный интервал для математического ожидания . Проведем вычисления и окончательно запишем, что . Таким образом, интервал покрывает параметр с надежностью при известной дисперсии .