2017-12-14
1063
Пусть 
– выборка наблюдений из нормальной генеральной совокупности. Найдем доверительный интервал для дисперсии 
нормально распределенного признака Х с известным математическим ожиданием 
. Поскольку значение математического ожидания известно, то в качестве оценки величины 
возьмем точечную оценку дисперсии 
, которую будем рассматривать как случайную величину, зависящую от случайной выборки. Тогда величина 
является суммой квадратов значений 
. Эти величины имеют стандартное нормальное распределение с параметрами (0,1), а сумма 
имеет 
(хи-квадрат) распределение Пирсона с 
степенями свободы. Плотность случайной величины, распределенной по закону , имеет вид
,
где 
– число степеней свободы. Пользуясь плотностью –распределения найдем интервал, в который значения 
попадают с надежностью 
. Обозначим этот интервал 
. Поскольку распре-деление не является симметричным, то чтобы получить симметричный относительно параметра интервал, значения 
и 
выберем так, чтобы вероятности попадания значений 
левее и правее были одинаково равными 
. Тогда 
. Числа и можно отыскать по специальной таблице критических точек распределения , исходя из того, что 
, 
. После того, как числа и выбраны, возможно определить доверительный интервал для дисперсии .
Так как , то неравенство 
преобразуется к неравенству 
или, в эквивалентном виде, 
. Это двойное неравенство означает, что доверительным интервалом для 
с надежностью является промежуток 
.
Замечание. Таблицы критических точек и распределения содержат два параметра: уровень значимости , определяемый значениями 
и 
, а также число степеней свободы 
, равное объему выборки . Критические значения в таблицах чаще всего обозначаются 
. Приведем для справки команды, с помощью которых можно получить 
при разных значениях и , в таких программах как EXCEL, MATHCAD,MAPLE.
| MAPLE |  ; |
| MATHCAD |  |
| EXCEL |  |
