Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании

Пусть – выборка наблюдений из нормальной генеральной совокупности. Найдем доверительный интервал для дисперсии нормально распределенного признака Х с известным математическим ожиданием . Поскольку значение математического ожидания известно, то в качестве оценки величины возьмем точечную оценку дисперсии , которую будем рассматривать как случайную величину, зависящую от случайной выборки. Тогда величина является суммой квадратов значений . Эти величины имеют стандартное нормальное распределение с параметрами (0,1), а сумма имеет (хи-квадрат) распределение Пирсона с степенями свободы. Плотность случайной величины, распределенной по закону , имеет вид

где – число степеней свободы. Пользуясь плотностью –распределения найдем интервал, в который значения попадают с надежностью . Обозначим этот интервал . Поскольку распре-деление не является симметричным, то чтобы получить симметричный относительно параметра интервал, значения и выберем так, чтобы вероятности попадания значений левее и правее были одинаково равными . Тогда . Числа и можно отыскать по специальной таблице критических точек распределения , исходя из того, что , . После того, как числа и выбраны, возможно определить доверительный интервал для дисперсии .

Так как , то неравенство преобразуется к неравенству или, в эквивалентном виде, . Это двойное неравенство означает, что доверительным интервалом для с надежностью является промежуток .

Замечание. Таблицы критических точек и распределения содержат два параметра: уровень значимости , определяемый значениями и , а также число степеней свободы , равное объему выборки. Критические значения в таблицах чаще всего обозначаются . Приведем для справки команды, с помощью которых можно получить при разных значениях и , в таких программах как EXCEL, MATHCAD,MAPLE.