Метод интегрирования по частям. Пусть u=u(x)иv=v(x) – дифференцируемые функции, тогда справедлива формула

Пусть u = u (x)и v = v (x) – дифференцируемые функции, тогда справедлива формула

. (*)

Формула (*) называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения на два сомножителя (u и dv). При переходе к правой части формулы (*) первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала: ), второй интегрируется ().

Возможность применения формулы (*) связана с тем, дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой.)

Рассмотрим интегралы Iтипа

; ;

В данных интегралах выбирают u = P_n (x), а за dv – оставшийся множитель.

Пример 9. Найти

Выполняем замену u =2 x +3 и dv =sin7 xdx, необходимо найти du и v.

du = d (2 x +3)=2 dx,

тогда, получим

Рассмотрим интегралы II типа.

; ; ;

;

В данных интегралах выполняют замену dv = P_n (x), а за u = оставшийся множитель.

Пример 10. Найти

В данном интеграле делаем замену u = ln x и dv = x ²+3, найдем du и v.

. См. таблицу производных.

, тогда

Замечание. При решении интегралов возможно применение формулы интегрирования по частям два и более раз, в тех случая, когда в интегралах I типа многочлен P_n (x) второй и выше степени.

Пример11. Найти

Возникший интеграл не является табличным, однако, видно, что по сравнению с исходным интегралом степень переменной х в подынтегральном выражении уменьшилась на единицу, при этом второй сомножитель cosx того же типа, что в исходном интеграле. Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Применим формулу интегрирования по частям к интегралу .

Подставим получившийся результат в решение данного интеграла, и получим