Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на интервале (а;b), если для любых значений x1 и х2 аргумента х, таких что a<x1<x2<b выполняется неравенство f(x2)>f(x1) (f(x2)<f(x1)).
Если в некоторой окрестности точки х0 для всех х≠х0 выполняется неравенство f(x)<f(x0) или f(x)>f(x0), то точка х0 называется точкой экстремума функции f(x) (соответственно точкой максимума или минимума).
Необходимое условие экстремума:Если функции f(x) имеет в точке х0 экстремум и дифференцируема в этой точке, то первая производная f '(x0) равна нулю. Таким образом, экстремум может наблюдаться в точках, в которых f′ (х0)=0 или не существует.
Достаточное условие экстремума:Если х0 является точкой экстремума функции f(x), то ее первая производная f'(x) меняет знак при переходе через точку х0: с плюса на минус — при максимуме, с минуса на плюс - при минимуме.
Теорема о монотонности дифференцируемой функции.
Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции нужно пользоваться достаточными признаками монотонности:
|
|
Если производная дифференцируемой функцииположительна (отрицательна) на некотором интервале и стационарные точки (те в которых f'(x)=0) не заполняют сплошь никакого отрезка, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Точка перегиба, исследование формы кривой.
Пусть функция f(x) удовлетворяет условию f "(x)>0. Тогда кривая у= f(x) выпукла вниз в точке с абсциссой х0. Если же f "(x)<0, то кривая у=f(x) в этой точке выпукла вверх.
Точка с абсциссой х0 называется точкой перегиба кривой y=f(x), если при переходе через точку х0 меняется направление выпуклости.
Необходимое условие точки перегиба:если х0 - точка перегиба кривой y=f(x), то вторая производная f’'(х0) либо равна нулю, либо не существует.
Достаточное условие точки перегиба: x0 является точкой перегиба кривой у=f(x), если в достаточно малой окрестности точки х0 при переходе через точку х0 вторая производная меняет знак.