double arrow

Экстремумы функции, условия существования экстремума.

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на ин­тервале (а;b), если для любых значений x1 и х2 аргумента х, таких что a<x1<x2<b выполняется неравенство f(x2)>f(x1) (f(x2)<f(x1)).

Если в некоторой окрестности точки х0 для всех х≠х0 выполняет­ся неравенство f(x)<f(x0) или f(x)>f(x0), то точка х0 называется точкой экстремума функции f(x) (соответственно точкой максимума или ми­нимума).

Необходимое условие экстремума:Если функции f(x) имеет в точке х0 экстремум и дифференцируема в этой точке, то первая про­изводная f '(x0) равна нулю. Таким образом, экстремум может наблю­даться в точках, в которых f′ (х0)=0 или не существует.

Достаточное условие экстремума:Если х0 является точкой экс­тремума функции f(x), то ее первая производная f'(x) меняет знак при переходе через точку х0: с плюса на минус — при максимуме, с минуса на плюс - при минимуме.

Теорема о монотонности дифференцируемой функции.

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции нужно пользоваться достаточными признаками монотонности:

Если производная дифференцируемой функцииположительна (отрицательна) на некотором интервале и стационарные точки (те в ко­торых f'(x)=0) не заполняют сплошь никакого отрезка, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Точка перегиба, исследование формы кривой.

Пусть функция f(x) удовлетворяет условию f "(x)>0. Тогда кри­вая у= f(x) выпукла вниз в точке с абсциссой х0. Если же f "(x)<0, то кривая у=f(x) в этой точке выпукла вверх.

Точка с абсциссой х0 называется точкой перегиба кривой y=f(x), если при переходе через точку х0 меняется направление выпуклости.

Необходимое условие точки перегиба:если х0 - точка перегиба кривой y=f(x), то вторая производная f’'(х0) либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба: x0 является точкой перегиба кривой у=f(x), если в достаточно малой окрестности точки х0 при переходе через точку х0 вторая производная меняет знак.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: