double arrow

Примеры решения задач. Задача 1.Проверить справедливость равенства А (В Ç С) = (А В) Ç (А С).


Задача 1.Проверить справедливость равенства А \ (В Ç С) = (А \ В) Ç (А \ С).

Решение.Строим диаграммы Венна отдельно для множества, заданного в левой части проверяемого равенства, и для множества в правой части (рисунок 1).

 

 

Рисунок 1

 

В левой части пересечение (В Ç С) показано частой косой штриховкой, разность А \ (В Ç С) – редкой штриховкой. В правой части разность (А \ В) показана вертикальной штриховкой, разность (А \ С) – горизонтальной штриховкой, их пересечение (А \ В) Ç (А \ С) – область, заштрихованная дважды (в клеточку). Сравнение обоих рисунков показывает, что левая и правая части равенства – разные. Следовательно, равенство неверно: А \ (В Ç С) ≠ (А \ В) Ç (А \ С).

Из этих же чертежей можно заключить, что множество в левой части равенства совпадает с объединением двух разностей из правой части (А \ В) È (А \ С).

Задача 2. Опрос 100 студентов показал, что 52 пользуются домашним компьютером, 71 – мобильным телефоном, 12 – ни тем, ни другим. Сколько студентов используют оба прибора, только компьютер, только телефон?

Решение. Решение этой задачи связано с формулой числа элементов в объединении двух, вообще говоря, пересекающихся множеств: ½А È В½= ½А½ + ½В½ – ½А Ç В½.




Требуется выразить число элементов пересечения:

½А È В½= ½А½ + ½В½ – ½А Ç В½ Þ ½А Ç В½= ½А½ + ½В½ – ½А È В½.

Строим диаграмму Венна (рисунок 2). Из условия следует, что число элементов объединения равно 100 – 12 = 88. Результаты получаем подстановкой числовых данных в формулу:

½А È В½= 100 – 12 = 88;

½А Ç В½= 52 + 71 – 88 = 35;

½А \ В½= 52 – 35 = 17;

½В \ А½= 71 – 35 = 36.

Оба прибора используют 35 студентов, только компьютер – 17, только телефон – 36.

Задача 3.Что называется декартовым произведением двух множеств? Найти и показать на координатной плоскости произведение А В, где А = [3, 5], В = [1, 4]: А и В – множества либо дейcтвительных чисел R, либо натуральных чисел N: а) А, В Í N; б) A, B Í R; в) A Í N, B Í R;
г) A Í R, B Í N.

 

Рисунок 2

 

Решение. Декартово произведение А ´ В двух множеств – это множество всех пар (x, y), где
x Î A, y Î B.

На рисунке 3, а, б, в, г произведение А ´ В изображается прямоугольником, проекция кото-рого на ось абсцисс – множество А, а проекция на ось ординат – множество В.

а) б) в) г)

 

Рисунок 3

 

Если же А и В – множества целых чисел А = [3, 5], В = (1, 4); А, В Í Z, то произведение
А ´ В – прямоугольник, составленный из целочисленных точек, т.е. точек, у которых обе координаты – целые числа (рисунок 8, а).

Для точек на рисунке 8, в, г одна из координат дискретная, другая – непрерывная.



Задача 4. Устанавливает ли функция y = cos x взаимно однозначное соответствие между отрезками [-π/2 , π/2] и [0, 1]?

Решение. Используем графическое представление основной элементарной функции y = cos x (рисунок 4). На участке [–π/2, π/2] функция принимает все значения из отрезка [0, 1]. Но любое значение, кроме у = 1, функция принимает в двух точках: например, cos(–π/2) = cos(π/2) = 0.

 

 

Рисунок 4

Следовательно, взаимно однозначного соответствия на этом множестве нет.

Если же рассмотреть ту же функцию на множестве [0, π/3], то она осуществляет взаимно однозначное соответствие с отрезком [1/2, 1]. Это видно на графике.

Задача 5. Пусть f(X) = 2X, g(X, Y) = XY. Что выражают суперпозиции h1(X, Y) = f(g(X, Y)), h2(X, Y) = g(f(Y), f(X)), h3(X) = f(g(X, f(X)))?

Решение. h1(X, Y) = f(g(X, Y)) = f(XY) = 2X-Y.

h2(X, Y) = g(f(Y), f(X))=f(Y) - f(X) = 2Y - 2X.

h3(X) = f(g(X, f(X))) = 2g(X, f(X)) = 2X-f(X) = 2X- .

Задача 6. x – вектор на плоскости; А(x), В(x) – одноместные алгебраические операции:
А(x) = х – b, где b = (2, 3); В(x) = 2x. Какие векторы представляются суперпозициями этих операций A(A(x)), B(A(B(x))), A(B(A(x))), A(B(A(B(x)))), если х – вектор (5, 3)?

Решение.Применение операции A к вектору z - вычитание вектора (2, 3).

(А(x) = х – b = (5, 3) – (2, 3) = (3, 0).

Применение операции В к вектору z – удвоение. В(х) = 2∙х = 2 × (5, 3) = (10, 6).

Далее – применение этих операций к результату предыдущей операции. На рисунке 5 – графическое представление суперпозиций.

А(А(x) = (х – b) – b = (3, 0) – (2, 3) = (1, –3).

А(В(x)) = (2х – b) = (10, 6) – (2, 3) = (8, 3).

В(А(x)) = 2 × (х – b) = 2 × (3, 0) = (6, 0).

В(А(В(x))) = 2 × (2х – b) = 2 × (8, 3) = (16, 6).



А(В(А(x))) = 2 × (х – b) – b = (6, 0) – (2, 3) = (4, -3).

А(В(А(В(x)))) = 2 × (2х – b) – b = (16, 6) – (2, 3) = (14, 3).

 

 

Рисунок 5

 

Задача 7.Пусть R – бинарное отношение на множестве М из 12 натуральных чисел
{4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24}: «xRy, если x ¹ y и х делится на у без остатка».

Сколько пар (x, y), элементы которых находятся в отношении xRy?

Является ли отношение xRy отношением эквивалентности?

Решение. Перечислим все такие пары: (8, 4), (10, 5), (12, 4), (12, 6), (15, 5), (16, 4), (16, 8),
(18, 6), (18, 9), (20, 4), (20, 5), (20, 10), (24, 4), (24, 6), (24, 8), (24, 12). Таким образом, их число – 16. Для ответа на вторую часть вопроса нужно проверить выполнение трех свойств, которыми должно обладать отношение эквивалентности. Транзитивность отношения выполняется: если x делится на y и y делится на z, то x делится на z; однако, рефлексивность отношения не выполняется в силу условия (отношение xRy не выполняется для равных x, y); отношение xRy также несимметрично: если x делится на y, то x > y, и поэтому y не делится на x. Следовательно, xRy не есть отношение эквивалентности.

Задача 8.Является ли отношение из предыдущей задачи отношением порядка?

Решение. Уточним результаты решения предыдущей задачи. Рассматриваемое отношение xRy транзитивно, антирефлексивно (не выполняется xRх) и антисимметрично (если xRy, то не выполняется yRx). Поэтому xRy – отношение строгого порядка.

Задача 9. Является ли упорядоченным или частично упорядоченным множество М с отношением xRy на нем из задач 8, 9?

Решение.Очевидно, не все пары элементов множества М сравнимы: например, 15 и 24, 10 и 18 и другие. Поэтому М – частично упорядоченное.

Задача 10.Пусть S(x, y, z) – трехместное отношение «x = y × z» на том же множестве М, что и в задаче 7: {4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24}. Сколько троек (x, y, z), элементы которых находятся в отношении S(x, y, z)?

Решение. Все тройки, удовлетворяющие заданным условиям: (16, 4, 4), (20, 4, 5), (20, 5, 4),
(24, 4, 6), (24, 6, 4); их число – 5. Заметим, что если y ¹ z, то (x, y, z) и (x, z, y) – разные тройки, но поскольку операция умножения коммутативна, то выполняется эквивалентность S(x, y, z) « S(x, z, y), т.е. вместе с каждой тройкой S(x, y, z) условию удовлетворяет и тройка S(x, z, y).

Задача 11. Числа 83, 1906, 44, 584, 4225 упорядочить (а) по величине, (б) по алфавиту как слова в алфавите {0, 1, … , 9}, (в) по сумме цифр.

Решение:

а) 44, 83, 584, 1906, 4225;

б) 1906, 4225, 44, 584, 83;

в) 44, 83, 4225, 1906, 584.

Сумма цифр: 8 11 13 16 17.

 


Приложение 2







Сейчас читают про: