Теорема Пойнтинга для мгновенных значений

Кроме уравнений Максвелла, большое значение в теории электромагнитного поля имеет теорема Пойнтинга, которая описывает энергетические соотношения в поле. Известно, что энергия электрического поля в единице объема равна , а энергия магнитного поля

в единице объема равна . Энергия в объеме dV равна ( ) dV.

Для того чтобы образовать выражение, в которое вошла бы полная энергия в объеме dV, умножим (14.1) на E dV, a (14.4) на H dV. Получим:

; (14.8)

. (14.9)

Из (14.8) вычтем (14.9). Получим

. (14.10)

Так как div [ EH ] = H rot E — E rot H, то левая часть (14.10) есть - div[ EH ]dV. Следовательно,

.

Для сокращения записи обозначим векторное произведение E на Н через П. т. е. примем, что П = [ EH ]; П —это вектор, называемый () вектором Пойнтинга; размерность его равна произведению размерностей Е и Н: [П]=[Е][Н]= =ВА/м².

 

Рис. 14.1. Вектор Пойнтинга направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы Е и Н.

Таким образом, вектор Пойнтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности, и направление его (рис. 14.1) совпадает с направлением движения острия правого винта, если головку последнего вращать по кратчайшему направлению от Е к Н. Следовательно,

. (14.11)

Распространим (14.11) на некоторый объем конечных размеров. С этой целью проинтегрируем (14.11) по объему V:

. (14.11')

Подобно тому, как поверхностный интеграл по теореме Стокса преобразовывается в линейный: , объемный интеграл в свою очередь может быть преобразован в поверхностный. Это преобразование осуществляют с помощью теоремы Гаусса . Качественно поясним это преобразование. Разобьем объем V (рис. 14.2) на отдельные объемы D V, заменим div П на , где D S — элемент поверхности объема D V, а знак å означает суммирование по всем поверхностям объема D V. Тогда

.

Первый знак суммы означает суммирование по поверхностям малого объема, а второй — по отдельным объемам. Сумма может быть разбита на две суммы: на сумму выражений по всем поверхностям, отделяющим один объем от соседнего (по «внутренним» поверхностям), и на сумму по всем «периферийным» поверхностям. Первая сумма равна нулю, так как для двух смежных объемов внешние нормали к общей поверхности направлены встречно. Рис. 14.3 поясняет это; mn — общая грань двух объемов.

 

Рис. 14.2. Объём V разбит на отдельные объёмы ΔV.

 

 

Рис. 14.3.Два смежных объёма ΔV выделенных из общего объёма

 

Для верхнего объема нормаль к грани направлена вниз (D S ₁), для нижнего — вверх (D S ₂); вектор П, будучи умноженным на (D S₁ + D S₂), даст нуль. Сумма по всем периферийным поверхностям и представляет собой .

Теорему Пойнтинга для мгновенных значений записывают следующим образом:

, (14.12)

Левая часть (14.12) представляет собой поток вектора Пойнтинга (направленный внутрь объема) сквозь любую замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем V.

Поясним смысл знака «минус» в левой части формулы (14.12). Элемент поверхности dS в любой ее точке направлен в сторону внешней по отношению к рассматриваемому объему нормали. Вектор Пойнтинга П направлен внутрь этого объема. Поскольку угол между П и dS больше 90°, то скалярное произведение ПdS < 0, а — ПdS > 0. Таким образом, за счет знака «минус» левая часть формулы (14.12) — величина положительная.

В соответствии с уравнением Джоуля— Ленца в дифференциальной форме g Е² есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единице объема в единицу времени. Поэтому есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единицу времени в объеме V; есть скорость изменения запаса электромагнитной энергии в единице объема.

Но скорость изменения электромагнитной энергии есть мощность. Следовательно, поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую поверхность, ограничивающую объем V, равен мощности, выделяющейся в объеме V в виде теплоты, и мощности, идущей на приращение энергии электромагнитного поля. Теорему Пойнтинга следует трактовать как уравнение энергетического баланса; левая часть (14.12) есть мощность или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока вектора Пойнтинга внутрь некоторого объема; правая часть (14.12) есть энергия, расходуемая в единицу времени внутри объема. Соотношение (14.12) было получено в предположении, что среда внутри объема V однородна и изотропна, а также в предположении, что отсутствует отраженная волна, и внутри объема нет источников электродвижущей силы.

Если поле не изменяется во времени, то

0 и .

Обратим внимание также на то, что формула (14.12) учитывает возможность прохождения потока вектора П транзитом через объем V. Электромагнитная энергия от места ее генерирования передается к месту потребления по диэлектрику (провода же в линиях передачи выполняют двоякую роль: они являются каналами, по которым проходит ток, и организаторами структуры поля в диэлектрике).

Покажем справедливость этого утверждения на простейшем примере. Пусть энергия постоянного тока передается по коаксиальному кабелю (рис. 14.4). Радиус жилы r₁, внутренний радиус оболочки r₂. Примем проводимость материала жилы и оболочки настолько большой (теоретически бесконечно большой), что напряженности поля Е = d/g в жиле и оболочке стремятся к нулю. Пространство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком. Убедимся, что энергия, передаваемая приемнику в единицу времени, равная UI, действительно канализируется по диэлектрику. С этой целью подсчитаем поток вектора Пойнтинга через поперечное сечение диэлектрика, в рассматриваемом примере представляющее собой кольцо с внутренним радиусом r₁ и наружным r₂. Напряженность магнитного поля в диэлектрике, по закону полного тока: .

 

Рис. 14.4. Коаксиальный кабель.

 

Напряженность электрического поля в диэлектрике при постоянном токе определяется так же, как и в условиях электростатики:

,

где Q — полный заряд жилы на длине l; U — напряжение между жилой и оболочкой.

Следовательно, в некоторой точке диэлектрика, расположенной на расстоянии r от оси (r₁ £ r £ r₂),

,

(Е и H взаимно перпендикулярны; рис.14.4). Поток вектора Пойнтинга через кольцо с радиусами r₁ и г₂.

.

Таким образом, вся поступающая к приемнику энергия действительно передается по диэлектрику. По жиле и оболочке энергия к приемнику не передается. Более того, если учесть, что g конечна и напряженность электрического поля в жиле и оболочке направлена по току и не равна нулю, то нетрудно убедиться в наличии потока вектора Пойнтинга через боковую поверхность провода внутрь провода, т. е. провода сами потребляют из диэлектрика энергию на покрытие тепловых потерь.