Оценка обязательств страховщика по выплате страховой ренты (аннуитета)

Предположим, по договору страхования лица в возрасте х лет страховая компания обязуется после достижении им возраста (х + m) лет выплачивать ему ежегодно по s рублей в конце каждого года в тече­ние n лет.

Обязательства страховщика по рассматриваемому договору состоят в осуществлении серии периодических выплат в конце каждого года при условии, что застрахованный жив на тот момент времени. Акту­арная стоимость таких обязательств будет складываться из современ­ных ожидаемых стоимостей всех возможных выплат. В течение периода отсрочки m лет выплат не происходит. Первая выплата производится в конце (m +1) года. Вероятность ее осущест­вления соответствует вероятности дожития застрахованного до воз­раста (х + m + 1) лет, которая может быть рассчитана по таблице смертности как

p_х=l_x+m+1/l_x

Современная ожидаемая стоимость выплаты равна произведению ее номинальной суммы на вероятность и на дисконтирующий мно­житель за (m + 1) лет: sp_xv^m+1

Аналогичным образом может быть рассчитана современная ожида­емая стоимость для любой произвольной j-й выплаты, предусмот­ренной договором: sp_xv^m+j

Актуарная стоимость обязательств составит:

или

Сумма произве­дений вероятностей страховых случаев на соответствующие дискон­тирующие коэффициенты представляет собой современную ожида­емую стоимость единичных обязательств страховщика. За единицу здесь принимается сумма выплат ренты в год.

В актуарных расчетах актуарная стоимость единичных обязательств по выплате ренты называется аннуитетом. Аннуитет отсроченной на m лет единичной страховой ренты для лица в возрасте х лет, выплачи­ваемой в конце каждого года в течение n лет, обозначается _m|na_x:

Если бы рента выплачивалась в начале каждого года, то соответствующий ей аннуитет был бы равен:

На практике ренты часто выплачиваются с периодичностью несколько раз в год (ежемесячно, раз в квартал, раз в полгода). Такие ренты называются дроблеными.