Электрон в одномерном потенциальном ящике

Потенциальный ящик представляет собой систему, ограничивающую движение электрона вертикальными стенками. Внутри ящика потенциальная энергия равна V = 0, а за бесконечно высокими стенками она бесконечно велика V = ∞. Электрон не может выбраться из этого ящика, и вынужден перемещаться внутри его (рис.13).

Рисунок 13. Одномерный потенциальный ящик

Уравнение Шредингера в этом случае совпадает с уравнением для свободной частицы. Однако на решение накладываются дополнительные ограничения, у стенок значение ψ-функции должны обратиться в ноль. Если ширина ящика равна a, граничные условия выглядят как: ψ(0)=0, ψ(а)=0. Электрон «мечется» между стенками, поочередно отражаясь от них, устанавливается стоячая волна, поэтому синусоида оказывается лучшим решением. С учетом граничных условий и нормировки решением является набор собственных энергий и соответствующих им волновых функций:

 

где n =1,2,3,4....

Параметр n называется квантовым числом. Решения отличаются друг от друга на целочисленные параметры, квантовая частица в потенциальном ящике имеет дискретный энергетический спектр. Плотность вероятности будет иметь явно выраженные максимумы, число которых зависит от квантового числа n (рис.14). Из рисунка видно, что, например, для n= 2 вероятность обнаружить электрон в центре ящика равна нулю, а для n= 1 или n= 3 она максимальна.

Рисунок 14. Поведение волновой функции и ее квадрата в одномерном потенциальном ящике в зависимости от квантового числа n.

Атом водорода

Атом водорода состоит из ядра и электрона, и уравнение Шредингера для него можно решить точно. Потенциальное поле, в котором движется электрон, имеет центральную симметрию (рис.15), поэтому уравнение следует переписать в сферических координатах (рис.16).

 

Рисунок 15. Атом водорода

Рисунок 16.Сферические координаты

 

 

Потенциальная энергия электрона представляет собой энергию кулоновского взаимодействия с атомным ядром. Заряд ядра и электрона по модулю совпадают, но имеют противоположный знак. Потенциальная энергия, которую нужно подставить в уравнение Шредингера:

где ε₀ ≈ 8,85·10⁻¹² Ф/м – электрическая постоянная.

Уравнение Шредингера принимает вид:

Решение существует:

а) при любых положительных значениях полной энергии. Это несвязанные состояния электрона, когда он улетает от ядра на бесконечность;

б) при отрицательных значениях энергии (E <0), энергия имеет дискретный спектр.

Собственные значения Е, удовлетворяющие данному уравнению:

 

 

Целочисленный параметр n называется главным квантовым числом и номером энергетического уровня.

Решением уравнения Шредингера является набор волновых функций, отличающихся друг от друга величиной целочисленных параметров: n, l, m_l.

Параметры n, l, m_l носят название квантовых чисел: главное квантовое число n, орбитальное квантовое число l, магнитное квантовое число m_l.

Для первого энергетического уровня (n =1) значения l и m_l равны нулю. Это основное состояние атома водорода. Волновая функция основного состояния сферически симметрична и меняется только с расстоянием от ядра:

 

Радиальная зависимость плотности вероятности распределения электронов (электронной плотности) в основном состоянии атома водорода – это вероятность того, что электрон будет обнаружен в тонком сферическом слое радиуса r толщиной dr с центром в ядре. Вероятность, что электрон находится в слое равна dР= dVψ²=(4πr²ψ²dr). На рисунке 17 изображен график зависимости dp(r)/dr = 4π r ²ψ².

Рисунок 17. Радиальная зависимость плотности вероятности распределения электронной плотности в основном состоянии атома водорода. Заштрихованная область соответствует электронной орбитали.

Кривая радиального распределения электронной плотности имеет максимум при r ₀≈0,53Å. Этот наиболее вероятный радиус совпадает с радиусом первой боровской орбиты. Вероятность обнаружить электрон не обращается в ноль даже при бесконечном удалении от атома, однако, можно выделить область вблизи ядра, где она максимальна. Область пространства, в которой вероятность нахождения электрона 90% называется электронной орбиталью.

Волновые функции возбужденных состояний атома водорода могут не обладать сферической симметрией, тогда распределение электронной плотности будет зависеть от угловой координаты. Собственные функции оператора Гамильтона будут содержать квантовые числа l и m_l, связанные с угловым моментом количества движения электрона.