Теорема 3. Пусть U(x) и V(x) две дифференцируемые функции

1 2 3 4

ТЕОРЕМА 2.

Пусть требуется найти , где первообразная не табличная.

Пусть , – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию.

Тогда

Доказательство.

Докажем, что производные левой и правой части равны.

Левая:

Правая: как сложную функцию от t

ч.т.д.

Однако одного общего правила для выбора подстановки не существует.

Рекомендуемые подстановки

1. Если подынтегральное выражение содержит функцию и ее производную:

Подстановка: , .

Таким образом, можно сформулировать правило: если подынтегральное выражение содержит функцию и ее производную, то под дифференциал надо подставить функцию и разделить на ее производную.

Пример 3.

Такая подстановка называется подведение под знак дифференциала.

Пример 4. =

Пример 5.

2. Если подынтегральное выражение содержит функцию в дробной степени, бывает удобно выполнить замену переменных.

Пример 6.

3. Интегрирование квадратных трехчленов и . Для интегрирования квадратных трехчленов в знаменателе используется прием выделения полного квадрата и замены полного квадрата на новую переменную

Пример 7.

Пример 8. .

Интегрирование по частям

Теорема 3. Пусть U(x) и V(x) две дифференцируемые функции.

Тогда .

Доказательство: По свойству дифференциала произведения имеем

Проинтегрируем обе части равенства

ч.т.д.

Применять интегрирование по частям целесообразно, если интеграл проще, чем

Удобно все интегралы, которые следует брать по частям, разбить на 3 группы.

1. 2 3

U d V U d V U d V

или V d U

где - полином степени n.

Пример 9. . Интеграл относится ко 2-ой группе, => за U возьмемln² x.

Третья группа интегралов называется циклические – после нескольких шагов применения теоремы интегрирования по частям, мы должны прийти к исходному интегралу. Для этой группы в качестве U можно выбрать любой множитель.

Пример 10. .

Таким образом, мы получили . Выражаем отсюда и получаем .

С помощью интегрирования по частям можно получать рекуррентные формулы для вычисления интегралов .

Пример 11. (Важный!)

, где , . =>

. Т.о. . Или

. Далее, понижая степень n до первой, приходим к табличному интегралу.

Интегрирование рациональных дробей.

Рациональные выражения.

В общем случае интегрирование не имеет заранее предусмотренных правил, но именно в случае рациональных выражений интегрирование представляет собой определенный порядок действий. Вспомним из школьного курса алгебры свойства целой рациональной функции.

В параграфе «формула Тейлора» мы определили полином, как функцию целых степеней x. Перепишем полином (многочлен) в другом порядке и будем называть его целой рациональной функцией , .

Повторимся: два многочлена f(x) и g(x) считаются равными, если равны коэффициенты a_i=b_i при равных степенях x.

ОПР. 3 Рациональной дробью (дробно-рациональной функцией) называется частное от деления двух целых рациональных функций

Дробь называется правильной, если n < m (степень Q(x) меньше степени P(x)). Если n > m, дробь – неправильная. Тогда ее можно представить в виде суммы многочлена n –m и правильной дроби, поделив числитель на знаменатель столбиком (выделить целую часть).

Основная теорема алгебры. Всякая целая рациональная функция имеет по крайней мере один корень (действительный или мнимый).

Теорема. Всякий многочлен n -ой степени разлагается на n линейных множителей и множитель – константу, который равен коэффициенту при xⁿ.

Теорема. Многочлен P_n не может иметь более чем n различных корней. Если некоторые повторяются, то их можно объединить, и говорят, что x=x_i – корень кратности k₁.

Теорема. Если среди корней есть мнимые, то они обязательно сопряженные и множитель, за счет которого образуются мнимые корни, можно оставлять в виде квадратного трехчлена x ² +px+q – многочлен 2-ой степени.

Таким образом, для любого P(x) можно записать:

ОПР. 5 Простейшими (элементарными) дробями называются дроби следующего вида:

1. 2. 3. 4.

Теорема 4. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением на множители знаменателя P(x).

где – неопределенные коэффициенты – константы.

Примеры разложения дробей на простейшие.

Пример 12. Разложить дробь на сумму простейших дробей и вычислить коэффициенты.

. Определим значения коэффициентов А, В, С. Для этого приведем к общему знаменателю правую часть равенства.

. Знаменатели первой и последней дроби одинаковы, следовательно, чтобы выполнялось равенство, числители также должны быть равны: . По опр.3 два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x. => Приравняем коэффициенты при равных степенях x левой и правой частей равенства: