КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Лекция 1
Теоретическая механика - это наука о наиболее общих законах механического движения и равновесия материальных объектов.
Основные понятия и определения теоретической механики возникли на основании многочисленных опытов и наблюдений над явлениями природы с последующим абстрагированием от конкретных условий каждого опыта. В теоретической механике пользуются предельными абстракциями: материальная точка и абсолютно твердое тело. Приведенные абстракции позволяют изучать самые общие законы механического движения, что и соответствует основной задаче теоретической механики. Теоретическая механика является основой для изучения таких дисциплин как сопротивление материалов и детали машин.
Курс теоретической механики состоит из трех частей: статики, кинематики и динамики.
Статика – раздел теоретической механики, в котором изучается статическое равновесие материальных тел, находящихся под действием приложенных к ним сил.
|
|
Основные понятия статики:
1. Если некоторое тело не перемещается по отношению к другому телу, то говорят, что первое тело находится в состоянии относительного равновесия. Тело, по отношению к которому рассматривается равновесие других тел, называется телом отсчета.
2. Любое тело под действием приложенных к нему сил изменяет свои геометрические размеры и форму, т.е. деформируется. В теоретической механике эти деформации не учитываются и рассматриваются только недеформируемые – абсолютно твердые тела. Тело называется абсолютно твердым, если расстояние между его любыми двумя точками остается постоянным.
3. Мерой механического взаимодействия тел является сила. Сила – величина векторная, она характеризуется точкой приложения, направлением и модулем (рис. 1.1). Единица измерения силы – ньютон (Н).
4. Совокупность сил, действующих на какое-либо тело, называется системой сил. Обозначается система сил { , , , … } – система, состоящая из n сил.
5. Уравновешенной, или эквивалентной нулю, системой сил называется такая система сил, которая, будучи приложенной к твердому телу, не нарушает его состояния. То есть, если некоторое тело не изменяло свое положение относительно тела отсчета до приложения уравновешенной системы сил, то оно не изменит его и после приложения к нему этой системы. Обозначается уравновешенная система сил так: { , , , … }<=>0 (<=> - знак эквивалентности).
6. Если к некоторому телу приложена система сил { , , , … } и к нему прикладываем еще одну систему сил { , , , … }, такую, что вместе с первой она будет составлять уравновешенную систему сил. В этом случае систему { , , , … }называют уравновешивающей системой сил. Если уравновешивающая система состоит из одной силы , то эта сила называется уравновешивающей силой для системы сил { , , , … }.
|
|
7. Если каждая из двух систем сил { , , , … } и { , , , … } уравновешиваются одной и той же системой сил { , , , … }, то первые две системы сил эквивалентны между собой { , , , … } <=>{ , , , … }. Вывод: замена системы сил, действующей на тело, системой ей эквивалентной не изменяет состояния, в котором находится данное тело.
8. Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил.
Аксиомы статики
Аксиома 1. Свободное абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил, тогда и только тогда, когда силы действуют по одной прямой в противоположные стороны и имеют равные модули.
Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней присоединить или от нее отбросить систему сил эквивалентную нулю.
{ , , , … } <=> { , , , … , , , , … };
{ , , , … } <=> 0
Аксиома 3. Две силы, приложенные в одной точке тела, эквивалентны равнодействующей, приложенной в той же точке и определяемой как диагональ параллелограмма, построенного на силах как на сторонах.
Рис. 1.3
Аксиома 4. Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.
Тело называется свободным, если его перемещения в пространстве ничем не ограничены. Если на перемещение точек тела накладываются ограничения, то тело называется несвободным или связанным. Материальные тела, ограничивающие перемещения данного тела называются связями. Сила, с которой связь действует на данное тело, называется реакцией связи. Сила действует на связь, а реакция связи на тело.
Аксиома 5. (Аксиома освобождения от связей). Равновесие тела не нарушится, если наложенные на него связи заменить реакциями связей.
Аксиома 6. (Аксиома о затвердевании). Равновесие деформируемого тела не изменится, если на него наложить дополнительные связи или оно станет абсолютно твердым.
Следствия из аксиом
Следствие 1. Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно переносить в любую точку ее линии действия. При этом действие силы на тело не изменится.
Доказательство:
Пусть на твердое тело действует сила , приложенная к точке А (рис. 1.4). Приложим в некоторой точке В линии действия силы F систему сил { , } <=> 0, что допускается на основании Аксиомы 2. Примем = = . В результате получим систему сил { , , } <=> .
Заметим, что { , } <=> 0, на основании аксиомы 2 эту систему сил можно отбросить. Получаем <=>{ , , }<=> .
Вывод: Сила является скользящим вектором.
Следствие 2. Теорема о необходимом условии равновесия тела, находящимся под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости.
Если свободное тело находится в состоянии равновесия под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Пусть к телу приложены три силы , , (рис. 1.5). { , , } <=> 0. Поскольку линии действия сил непараллельны, то любые две из них (пусть и ) пересекутся в некоторой точке О. Перенесем F1 и F2 в точку О и заменим эти силы равнодействующей . Получим { , , } <=> { , }, а для того чтобы тело находилось в равновесии, необходимо выполнение условия: = , и они должны быть направлены по одной прямой в противоположные стороны. То есть линия действия силы должна проходить через точку пересечения линий действия сил и .
Лекция 2
Виды связей и их реакции
При решении технических задач возникает необходимость поиска реакций различных связей. Общее правило, которое следует применять, состоит в следующем: если ограничиваются перемещения какой-либо точки тела, то реакцию следует прикладывать в этой точке в сторону, противоположную направлению, в котором ограничивается перемещение.
|
|
Основные типы связей:
1. Гладкая поверхность или опора. Гладкой считается поверхность, трением о которую можно пренебречь. Реакция гладкой поверхности сводится только к реакции , направленной по общей нормали к контактирующим поверхностям, в предположении, что эта нормаль существует (рис. 2.1.а). Если общей нормали не существует, то есть одна из поверхностей имеет угловую точку или «заострение», реакция направлена по нормали к другой поверхности (рис. 2.1.б).
Рис. 2.1. а | Рис. 2.1 б |
2. Шероховатая поверхность - это поверхность трением, по которой пренебрегать нельзя. Реакция шероховатой поверхности складывается из нормальной реакции и силы трения . (рис 2.2). Модуль R определяется по формуле:
. (2.1)
3. Гибкая связь. К этому типу связи относятся связи, осуществляемые с помощью цепи, троса, каната и т. д. Реакция такой связи всегда направлена вдоль связи (рис. 2.3).
4. Цилиндрический шарнир (рис. 2.4) и подшипник (опора В рис.2.5). Цилиндрическим шарниром называется соединение двух или более тел посредством цилиндрического стержня, так называемого пальца, вставленного в отверстия в этих телах. Цилиндрический шарнир препятствует перемещению по любому направлению в плоскости ХОY. Реакция неподвижного цилиндрического шарнира (шарнирно-неподвижной опоры) представляется в виде неизвестных составляющих и , линии действия которых параллельны или совпадают с осями координат (рис. 2.4).
5. Подпятник (опора А рис. 2.5) и сферический шарнир (рис. 2.6). Такой вид связи можно представить в виде стержня, имеющего на конце сферическую поверхность, которая крепится в опоре, представляющей собой часть сферической полости. Сферический шарнир препятствует перемещению по любому направлению в пространстве, поэтому реакция его представляется в виде трех составляющих , , , параллельных соответствующим координатным осям.
|
|
6.
Шарнирно-подвижная опора. Этот вид связи конструктивно выполняется в виде цилиндрического шарнира, который может свободно перемещаться вдоль поверхности. Реакция шарнирно-подвижной опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности (опора А рис. 2.7).
7. Шарнирно-неподвижная опора. Реакция шарнирно-неподвижной опоры представляется в виде неизвестных составляющих и , линии действия которых параллельны или совпадают с осями координат (опора В рис. 2.7).
8. Невесомый стержень (прямолинейный или криволинейный), закрепленный по концам шарнирами. Реакция такого стержня является определенной и направлена вдоль линии, соединяющей центры шарниров (рис. 2.8).
9. Жесткая заделка. Это необычный вид связи, так как кроме препятствия перемещению в плоскости ХОY, жесткая заделка препятствует повороту стержня (балки) относительно точки А. Поэтому реакция связи сводится не только к реакции R (Rаx, Rаy), но и к реактивному моменту Мра (рис. 2.9).