Конечный и бесконечный пределы функции, их геометрическая иллюстрация

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А. Обозначается .

предел может быть равен конкретному действительному числу , в этом случае говорят, что предел конечен.

Функция не ограничена сверху. Аналитически свойство записывается так:

. Вот и пример геометрического смысла предела функции: если мы будем уходить по оси X (влево или вправо) на бесконечность, то ветки параболы (значения «игрек») будут неограниченно уходить вверх на «плюс бесконечность».

Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел.

Функция называется ограниченной на X, если существует такое число K, что

Теорема:

Если функция f(x) имеет конечный предел при , то существует проколотая окрестность в точке А, в которой функция ограничена.

Доказательство:

Пусть - фиксированное число.