Первый замечательный предел. Определение 5.1.Первый замечательный предел – это предел вида

Определение 5.1. Первый замечательный предел – это предел вида

Данный предел часто используют при вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции и имеющих неопределенность . В этих случаях с помощью преобразований выражения под знаком предела необходимо привести его к виду первого замечательного предела, т.е. к отношению синуса некоторого аргумента к этому аргументу при стремлении последнего к нулю.

Примеры 5.1. Вычислить пределы:

1) (первый замечательный предел).

2) .

Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби на 3, чтобы образовать первый замечательный предел:

3) .

Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби на , чтобы образовать первый замечательный предел:

4) .

Решение: Для того чтобы образовать первый замечательный предел, сперва преобразуем числитель дроби с помощью тригонометрических тождеств:

5) .

Решение: Для того чтобы привести к первому замечательному пределу, сперва сделаем замену переменных:

Замечание 5.1. При вычислении пределов также полезно использовать следующие следствияиз первого замечательного предела (здесь – постоянные числа):