Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Задание 12. Вычисление предела функции в точке и на бесконечности – 2 ч




Цель: формирование умения вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности и используя замечательные пределы.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&12.1.Выучите определение предела функции в точке. Выясните, когда при вычислении пределов функции в точке возникает неопределенность вида и в чем заключается техника ее раскрытия.

?12.2. Вычислите предел функции в точке:

а)   б)
в) г)
д)  

&12.3.Выучите определение предела функции на бесконечности. Выясните, когда при вычислении пределов функции возникает неопределенность вида и в чем заключается техника ее раскрытия.

?12.4. Вычислите предел функции на бесконечности:

а) б)
в)  

&12.5.Запомните, какие пределы называются замечательными и проанализируйте, как они используются для вычисления пределов.

?12.6. Вычислите предел функции с помощью замечательных пределов:

а) б)

¶ 12.7. Вычислите предел функции:

а) б)
в)  

¶ 12.8. Выясните, при каком значении параметра будет равен -1; 0; .

?12.9. Найдите предел функции, заданной графически, в указанных точках или на бесконечности:

а)

б)

, , , , , ,

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

1. Предел функции в точке. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .

Число b называется пределом функции при х, стремящемся к хо (или в точке хо), если для любого наперед заданного существует такое , что для всех х, удовлетворяющих условиям , , имеет место неравенство: .

Если b есть предел функции при то пишут: .

При вычислении предела функции в точке удобно использовать следующую технику:

1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой.

Пример 1. Вычислите: .

Решение.Подставим в многочлен вместо х значение -1, тогда

= .

Ответ: =0.

2. Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов , то проверяем, обращается ли при подстановке хо знаменатель в ноль. Если не обращается, то предел вычисляется простой подстановкой.

Если при подстановке хо знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.

Если , то имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленовина множители, используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

, где х1 и х2 – корни уравнения .

Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.




Пример 2. Вычислите .

Решение. Проверим, какие значения будут принимать числитель и знаменатель при подстановке вместо х значения 3: , . Получили неопределенность вида .

Разложим числитель на множители по формуле разложения квадратного трехчлена. Составим уравнение и найдем его корни:

D = ;

; 3 или ; .

Тогда числитель можно представить в виде произведения двух множителей: =

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: = .

Вернемся к исходному пределу:

= = .

Ответ: = .

3. Если под знаком предела стоит дробь вида , включающая иррациональную функцию (функцию, содержащую корень), то домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному.

Пример 3. Вычислите .

Решение. Поскольку при подстановке в числитель и знаменатель вместо х значение 0, получаем неопределенность вида , домножим числитель и знаменатель дроби на выражение , сопряженное знаменателю. Получим:

= .

В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:

.

Вынесем в знаменателе х за скобки и сократим дробь на х: .

Видим, что при подстановке х=0 числитель и знаменатель не обращаются в 0, следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:

= = =-8.

Ответ: =-8.

2. Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .

Число b называется пределом функции при →∞, если для любого наперед заданного существует такое , что для всех имеет место неравенство: .



Если b есть предел функции при →∞, то пишут: .

Для нахождения пределов функций на бесконечности часто используют два основных предела: и , где с – константа.

При вычислении предела дроби при →∞ возникает неопределенность вида .Техника ее раскрытия заключается в том, чтокаждое слагаемое числителя и знаменателя нужно разделить на х в наивысшей степени. Возможны три случая:

1)наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя:

Пример 4. Вычислите .

Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х2. Получим:

= = ;

Каждое слагаемое стремится к 0 при →∞, тогда

= =2.

Ответ: =2.

Итак, если наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя, то в пределе получается число, отличное от нуля.

Пример 5. Вычислите .

Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х2. Получим:

= = =∞.

Ответ: = .

Таким образом, если наивысшая степень числителя больше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается бесконечность.

3)наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя:

Пример 6. Вычислите .

Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х3. Получим:

= = = .

Ответ: =0.

Таким образом, если наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается ноль.





Дата добавления: 2015-04-01; просмотров: 3197; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась - это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8331 - | 7953 - или читать все...

Читайте также:

  1. API-функции клиента
  2. B. 2. Синдром холестаза (нарушение экскреторной функции печени)
  3. Exercise 6. Преобразуйте предложения, употребив инфинитив в функции а) сложного дополнения; б) сложного подлежащего. Переведите предложения
  4. Exercises. Exercise 1. Определите функции сказуемых в Continuous Tenses (Present, Past, Future) и переведите предложения:
  5. FПодсказка. Замена в предложении определительного придаточного причастным оборотом возможна благодаря тому, что они выполняют примерно одинаковые функции:
  6. FПодсказка. Посмотри задание А10, чтобы вспомнить признаки причастия и спряжения глаголов
  7. I часть. Построение. Рассчитать класс на первый-второй и объяснить задание
  8. I. Выполнение письменного задания (реферата). В процессе изучения дисциплины «Корпоративные финансы» студенты выполняют письменное задание − реферат
  9. I. Изучающее чтение. (40 мин) Направлено на формирование компетенции ОК-5. Задание 1. Изучить новые слова
  10. I. Найти все корни уравнения, строя график функции и затем используя средство Подбор параметра
  11. I. Оргмомент. 1.Развитие зрительного восприятия С задание 1
  12. I. Признаки возрастания и убывания функции


 

34.204.173.45 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.007 сек.