Задание 12. Вычисление предела функции в точке и на бесконечности – 2 ч

?12.2. Вычислите предел функции в точке:

а)	б)
в)	г)
д)

& 12.3.Выучите определение предела функции на бесконечности. Выясните, когда при вычислении пределов функции возникает неопределенность вида и в чем заключается техника ее раскрытия.

?12.4. Вычислите предел функции на бесконечности:

а)	б)
в)

& 12.5.Запомните, какие пределы называются замечательными и проанализируйте, как они используются для вычисления пределов.

?12.6. Вычислите предел функции с помощью замечательных пределов:

а)

б)

¶ 12.7. Вычислите предел функции:

а)	б)
в)

¶ 12.8. Выясните, при каком значении параметра будет равен -1; 0; .

?12.9. Найдите предел функции, заданной графически, в указанных точках или на бесконечности:

а)

б)

, , , , , ,

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

1. Предел функции в точке. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .

Число b называется пределом функции при х, стремящемся к х_о (или в точке х_о), если для любого наперед заданного существует такое , что для всех х, удовлетворяющих условиям , , имеет место неравенство: .

Если b есть предел функции при → то пишут: .

При вычислении предела функции в точке удобно использовать следующую технику:

1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой.

Пример 1. Вычислите: .

Решение. Подставим в многочлен вместо х значение -1, тогда

= .

Ответ: =0.

2. Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов , то проверяем, обращается ли при подстановке х_о знаменатель в ноль. Если не обращается, то предел вычисляется простой подстановкой.

Если при подстановке х_о знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.

Если , то имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов и на множители, используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

, где х ₁ и х ₂ – корни уравнения .

Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.

Пример 2. Вычислите .

Решение. Проверим, какие значения будут принимать числитель и знаменатель при подстановке вместо х значения 3: , . Получили неопределенность вида .

Разложим числитель на множители по формуле разложения квадратного трехчлена. Составим уравнение и найдем его корни:

D = ;

; 3 или ; .

Тогда числитель можно представить в виде произведения двух множителей: =

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: = .

Вернемся к исходному пределу:

= = .

Ответ: = .

3. Если под знаком предела стоит дробь вида , включающая иррациональную функцию (функцию, содержащую корень), то домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному.

Пример 3. Вычислите .

Решение. Поскольку при подстановке в числитель и знаменатель вместо х значение 0, получаем неопределенность вида , домножим числитель и знаменатель дроби на выражение , сопряженное знаменателю. Получим:

= .

В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:

.

Вынесем в знаменателе х за скобки и сократим дробь на х: .

Видим, что при подстановке х =0 числитель и знаменатель не обращаются в 0, следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:

= = =-8.

Ответ: =-8.

2. Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .

Число b называется пределом функции при →∞, если для любого наперед заданного существует такое , что для всех имеет место неравенство: .

Если b есть предел функции при →∞, то пишут: .

Для нахождения пределов функций на бесконечности часто используют два основных предела: и , где с – константа.

При вычислении предела дроби при →∞ возникает неопределенность вида .Техника ее раскрытия заключается в том, что каждое слагаемое числителя и знаменателя нужно разделить на х в наивысшей степени. Возможны три случая:

1)наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя:

Пример 4. Вычислите .

Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х². Получим:

= = ;

Каждое слагаемое стремится к 0 при →∞, тогда

= =2.

Ответ: =2.

Итак, если наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя, то в пределе получается число, отличное от нуля.

Пример 5. Вычислите .

Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х². Получим:

= = =∞.

Ответ: = .

Таким образом, если наивысшая степень числителя больше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается бесконечность.

3)наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя:

Пример 6. Вычислите .

Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х³. Получим:

= = = .

Ответ: =0.

Таким образом, если наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается ноль.