Теоремы о среднем дифференциального исчисления

38 39 40 41 42 43 44

1. Теорема Ролля. Если функция :

1)непрерывна на отрезке ,

2)дифференцируема на интервале ,

3) ,

то найдется по крайней мере одна точка на интервале , в которой .

2. Теорема Лагранжа. Если функция :

1. непрерывна на отрезке ,

2. дифференцируема на интервале ,

то на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой

3. Теорема Коши. Если две функции и :

1. непрерывны на отрезке ,

2. дифференцируемы на интервале ,

3. на интервале ,

то на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой

Замечание 11.1. Формулу из теоремы Лагранжа иногда, обозначая , записывают в следующем виде:

Формула Тейлора.

Естественным обобщением последней формулы для функций, имеющих n производных в некоторой окрестности точки (включая саму эту точку), является формула Тейлора:

где – остаточный член формулы Тейлора, в форме Лагранжа имеющий вид:

( – некоторая промежуточная точка между точками и ).

Пример 11.2. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .

Решение: Функция определена и непрерывна на отрезке как элементарная функция. Найдем ее производную: , т.е. функция дифференцируема на интервале . Следовательно, теорема Лагранжа справедлива для функции на отрезке . Поэтому на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой

Решая данное уравнение относительно , получим .

Правило Лопиталя.

Простым приемом для раскрытия неопределенностей вида и при отыскании предела функций является правило Лопиталя (Гильом Лопиталь (1661-1704) – французский математик).

Теорема 11.1. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций и равен пределу отношения их производных, если последний существует, т.е.

Пример 11.3. Вычислить .

Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Предел отношения производных существует. Тогда

Замечание 11.2. Если и при , то отыскание предела (неопределенность вида ) может быть сведено к одному из ранее рассмотренных случаев или путем тождественных преобразований:

или .

Пример 11.4. Вычислить .

Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Преобразуем функцию так, чтобы получилась неопределенность вида : . Предел отношения производных существует. Тогда

Замечание 11.3. Если и при , тоотыскание предела (неопределенность вида ) может быть сведено к раскрытию неопределенности вида путем тождественных преобразований:

или .

Пример 11.5. Вычислить .

Замечание 11.4. При отыскании предела функции вида могут возникнуть неопределенности вида . В этих случаях можно прийти к неопределенности вида путем следующих преобразований: