2018-01-08
1176
1. Теорема Ролля. Если функция 
:
1)непрерывна на отрезке 
,
2)дифференцируема на интервале 
,
3) 
,
то найдется по крайней мере одна точка 
на интервале 
, в которой 
.
2. Теорема Лагранжа. Если функция 
:
1. непрерывна на отрезке ,
2. дифференцируема на интервале ,
то на интервале найдется по крайней мере одна точка 
, в которой
.
3. Теорема Коши. Если две функции 
и 
:
1. непрерывны на отрезке ,
2. дифференцируемы на интервале ,
3. 
на интервале ,
то на интервале найдется по крайней мере одна точка 
, в которой
.
Замечание 11.1. Формулу из теоремы Лагранжа иногда, обозначая 
, записывают в следующем виде:
.
Формула Тейлора.
Естественным обобщением последней формулы для функций, имеющих n производных в некоторой окрестности точки 
(включая саму эту точку), является формула Тейлора:
где 
– остаточный член формулы Тейлора, в форме Лагранжа имеющий вид:
(
– некоторая промежуточная точка между точками 
и 
).
Пример 11.2. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции 
на отрезке 
.
|
|
|
Решение: Функция 
определена и непрерывна на отрезке 
как элементарная функция. Найдем ее производную: 
, т.е. функция дифференцируема на интервале 
. Следовательно, теорема Лагранжа справедлива для функции 
на отрезке . Поэтому на интервале 
найдется по крайней мере одна точка 
, в которой
.
Решая данное уравнение относительно 
, получим 
.
Правило Лопиталя.
Простым приемом для раскрытия неопределенностей вида 
и 
при отыскании предела функций является правило Лопиталя (Гильом Лопиталь (1661-1704) – французский математик).
Теорема 11.1. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций 
и 
равен пределу отношения их производных, если последний существует, т.е.
.
Пример 11.3. Вычислить 
.
Решение: Подстановка предельного значения 
приводит к неопределенности вида 
. Предел отношения производных существует. Тогда
.
Замечание 11.2. Если 
и 
при 
, то отыскание предела 
(неопределенность вида 
) может быть сведено к одному из ранее рассмотренных случаев 
или 
путем тождественных преобразований:
или 
.
Пример 11.4. Вычислить 
.
Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида 
. Преобразуем функцию так, чтобы получилась неопределенность вида 
: 
. Предел отношения производных существует. Тогда
.
Замечание 11.3. Если 
и 
при 
, тоотыскание предела 
(неопределенность вида 
) может быть сведено к раскрытию неопределенности вида 
путем тождественных преобразований:
или 
.
Пример 11.5. Вычислить 
.
Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида 
. Преобразуем функцию так, чтобы получилась неопределенность вида 
: 
. Предел отношения производных существует. Тогда
|
|
|
Замечание 11.4. При отыскании предела функции вида 
могут возникнуть неопределенности вида 
. В этих случаях можно прийти к неопределенности вида 
путем следующих преобразований:
,
а в силу непрерывности показательной функции:
Пример 11.6. Вычислить 
.
Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида 
. Преобразуем исходный предел: 
, где
Тогда 
.
