Определение 12.1. Функция называется монотонно возрастающей на интервале , если для любых из этого интервала выполнено условие
при
Определение 12.2. Функция называется монотонно убывающей на интервале , если для любых из этого интервала выполнено условие
при
Перечисленные выше условия называются условиями монотонности в широком смысле. Если в них знак равенства исключен, то функция называется строго монотонной.
Теорема 12.1. Дифференцируемая функция является монотонно возрастающей на интервале тогда и только тогда, когда
при
и является монотонно убывающей, если
при
Пример 12.1. Найти интервалы монотонности функции .
Решение: Вычисляем производную: . Очевидно, при и при , т.е. функция убывает на интервале и возрастает на интервале .
Экстремумы функции.
Определение 12.3. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности этой точкивыполняется неравенство .
Определение 12.4. Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство .
|
|
Значения функции в точках и называются соответственно максимумом и минимумом этой функции, объединяемые общим названием экстремумы функции.
Необходимое условие существования экстремума. Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю () или не существовала.
Определение 12.5. Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума и которые входят в область определения функции, называются критическими.
Достаточное условие экстремума. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с «плюса» на «минус», то точка есть точка максимума функции , а если с «минуса»на «плюс»– то точка минимума. Если изменения знака производной не происходит, то экстремума нет.
Схема исследования функции на экстремум:
1. Найти производную .
2. Найти критические точки функции, в которых производная =0 или не существует.
3. Исследовать изменение знака производной при переходе через критическую точку. Сделать вывод о наличии экстремума.
4. Найти экстремумы функции (значения функции в точках экстремума).
Пример 12.2. Определить точки экстремума функции .
Решение:
1. Найдем производную заданной функции:
.
2. Найдем точки, в которых
производная равна нулю – =0: при и ;
производная не существует – таких точек нет.
Значит, критическими являются точки и .
3. Исследуем изменение знака производной при переходе через критическиеточки:
при , при ,при .
Таким образом, – точка максимума, а – максимум функции.