2018-01-08
514
Определение 12.1. Функция 
называется монотонно возрастающей на интервале 
, если для любых 
из этого интервала выполнено условие
при 
Определение 12.2. Функция 
называется монотонно убывающей на интервале 
, если для любых 
из этого интервала выполнено условие
при 
Перечисленные выше условия называются условиями монотонности в широком смысле. Если в них знак равенства исключен, то функция 
называется строго монотонной.
Теорема 12.1. Дифференцируемая функция 
является монотонно возрастающей на интервале 
тогда и только тогда, когда
при 
и является монотонно убывающей, если
при 
Пример 12.1. Найти интервалы монотонности функции 
.
Решение: Вычисляем производную: 
. Очевидно, 
при 
и 
при 
, т.е. функция убывает на интервале 
и возрастает на интервале 
.
Экстремумы функции.
Определение 12.3. Точка 
называется точкой максимума функции 
, если в некоторой окрестности этой точкивыполняется неравенство 
.
Определение 12.4. Точка 
называется точкой минимума функции 
, если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство 
.
Значения функции 
в точках 
и 
называются соответственно максимумом и минимумом этой функции, объединяемые общим названием экстремумы функции.
Необходимое условие существования экстремума. Для того чтобы функция 
имела экстремум в точке 
, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (
) или не существовала.
Определение 12.5. Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума и которые входят в область определения функции, называются критическими.
Достаточное условие экстремума. Если при переходе через точку 
производная дифференцируемой функции 
меняет свой знак с «плюса» на «минус», то точка 
есть точка максимума функции 
, а если с «минуса»на «плюс»– то точка минимума. Если изменения знака производной не происходит, то экстремума нет.
Схема исследования функции 
на экстремум:
1. Найти производную 
.
2. Найти критические точки функции, в которых производная 
=0 или не существует.
3. Исследовать изменение знака производной при переходе через критическую точку. Сделать вывод о наличии экстремума.
4. Найти экстремумы функции (значения функции в точках экстремума).
Пример 12.2. Определить точки экстремума функции 
.
Решение:
1. Найдем производную заданной функции:
.
2. Найдем точки, в которых
производная равна нулю – 
=0: 
при 
и 
;
производная не существует – таких точек нет.
Значит, критическими являются точки 
и 
.
3. Исследуем изменение знака производной при переходе через критическиеточки:
при 
, при 
,при 
.
Таким образом, 
– точка максимума, а 
– максимум функции.
