Числовая последовательность

Предел числовой последовательности.

Рассмотрим множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, …..n,…

Пусть каждому натуральному числу по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие действительное число х₁, х₂, х₃, … х_n, … Тогда говорят, что на множестве натуральных чисел задана числовая последовательность {x_n}.

Числовая последовательность считается заданной, если указано правило, по которому может быть вычислен любой член последовательности, если только известен его номер. Это правило называется формулой n члена последовательности.

Например: х_п = n²

Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для всякого ε > 0 найдётся число N(ε) такое, что для всех n > N выполняется неравенство │х_п - а│< ε. Обозначают .

Последовательности имеющие предел называются сходящимися.

Неравенство │х_n - a│< ε равносильно неравенству а – ε < х_n < a + ε, то есть точки х_n€ (a – ε, a + ε) или ε – окрестности точки а. Учитывая это замечание определение предела последовательности можно сформулировать так:

Число а называется пределом последовательности, если для любого ε>0 найдется такое число N(ε), что все члены последовательности с номерами n > N попадут в ε – окрестность точки а. Вне этой окрестности либо не имеется точек х_п, либо имеется конечное их число.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство:

Пусть последовательность имеет два различных предела а и b. Рассмотрим окрестности точек а и b такой малой величины, что они не пересекаются. Воспользуемся вторым определением предела последо-вательности. Поскольку число а является пределом последовательности, то существует такая окрестность точки а, что все члены последовательности за исключением может быть их конечного числа попадут в ε – окрестность точки а. Так как число b является пределом последовательности, то все члены последовательности за исключением лишь их конечного числа попадут в ε – окрестность точки b. Таким образом, все члены одного бесконечного множества попали в окрестности двух различных точек, чего быть не может. Получили противоречие. Следовательно, предел единственный и теорема верна.