Первый и второй замечательные пределы. Функция не определена при

Функция не определена при . Однако её значения в окрестности точки нуль существуют. Поэтому можно рассматривать предел этой функции при . Этот предел носит название первого замечательного предела.

Он имеет вид: .

Например. Найти пределы: 1. . Обозначают , если , то . ; 2. . Преобразуем данное выражение так, чтобы предел свёлся к первому замечательному пределу. ; 3. .

Рассмотрим переменную величину вида , в которой принимает значения натуральных чисел в порядке их возрастания. Дадим различные значения: если

Давая следующие значения из множества , нетрудно увидеть, что выражение при будет . Более того, доказывается, что имеет предел. Этот предел обозначается буквой : .

Число иррациональное: .

Теперь рассмотрим предел функции при . Этот предел называется вторым замечательным пределом

Он имеет вид .

Например.

а) . Выражение заменим произведением одинаковых сомножителей , применим теорему о пределе произведения и второй замечательный предел ; б) . Положим , тогда , .

Второй замечательный предел используется в задаче о непрерывном начислении процентов

При начислении денежных доходов по вкладам часто пользуются формулой сложных процентов, которая имеет вид:

,

где - первоначальный вклад,

- ежегодный банковский процент,

- число начислений процентов в год,

- время, в годах.

Однако, в теоретических исследованиях при обосновании инвестиционных решений чаще пользуются формулой экспоненциального (показательного) закона роста

.

Формула показательного закона роста получена как результат применения второго замечательного предела к формуле сложных процентов