Непрерывность функций

Рассмотрим функцию определённую в некоторой точке и некоторой окрестности точки . Пусть в указанной точке функция имеет значение .

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки, включая саму точку и .

Определение непрерывности можно сформулировать иначе.

Пусть функция определена при некотором значении , . Если аргументу дать приращение , то функция получит приращение

.

Пусть функция в точке непрерывна (по первому определению непрерывности функции в точке),

тогда

или .

То есть, если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Справедливо и обратное предложение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна.

Определение 2. Функция называется непрерывной при (в точке ), если она определена в этой точке и некоторой её окрестности и если .

Учитывая первое и второе определение непрерывности функции в точке можно получить следующее утверждение:

или , но , тогда .

Следовательно, для того чтобы найти предел непрерывной функции при достаточно в аналитическое выражение функции вместо аргумента подставить его значение .

Определение 3. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

Например:

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна во всех точках области определения.

Воспользуемся вторым определением непрерывности функции в точке. Для этого возьмём любое значение аргумента и дадим ему приращение . Найдём соответствующее приращение функции

Тогда ;

Пример 2. Доказать, что функция непрерывна во всех точках из .

Дадим аргументу приращение , тогда функция получит приращение

Найдём так как функция , то есть ограничена.

Аналогично можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках области их определения, то есть область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

Определение 4. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала , то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.