Класифікація станів рівноваги динамічних систем другого порядку

Оскільки повна класифікація станів рівноваги для систем довільного порядку практично нездійсненний, розглянемо тільки системи другого порядку, тобто такі, які описуються двома динамічними параметрами.

Розглянемо автономну систему другого порядку виду

Нехай M(x₀,y₀) – стан рівноваги. Це означає, що

P(x₀,y₀)= Q(x₀,y₀)=0

Позначимо

Стан рівноваги, для якого ∆ ¹ 0 називається простим.

Розглянемо наступні стани рівноваги:

1) Прості стани рівноваги.

Для стану рівноваги може бути складено характеристичне рівняння

(4.7)

Нехай l₁, l₂ — корінь характеристичного рівняння.

Стан рівноваги класифікуються залежно від того, чи є коріння дійсними або комплексними числами, їхньої парності й знака.

2) Вузли.

Якщо l₁, l₂ — дійсні числа однакових знаків, тобто l₁, l₂ > 0 або ∆> 0,

σ² - 4∆>0, то стан рівноваги називається вузлом:

A. Невироджений вузол: l₁¹ l₂

а) стійкий, якщо σ< 0 (рис. 4.6а);

б) нестійкий, якщо σ > 0 (рис. 4.6б);

Б. Вироджений вузол: l₁ = l₂ = l

а) стійкий, якщо l<0 (рис. 4.7а);

б) нестійкий, якщо l>0 (рис. 4.7б)

B. Дикритичний вузол: l₁ = l₂ = l і система може бути приведена до виду

а) стійкий, якщо l<0 (рис. 4.8а);

б) нестійкий, якщо l>0 (рис. 4.8б).

Рис. 4.6. Стан рівноваги типу вузол

Рис. 4.7. Фазовий портрет системи в околиці виродженого вузла

4.8. Фазові портрети для дикритичних вузлів

4) Сідло.

Характеристичні корні l₁, l₂ - дійсні числа різних знаків, тобто l₁l₂ <0 або ∆< 0, σ² - 4 ∆> 0 (рис. 4.9).

4.9. Сідлова точка

Сепаратрисой сідла називається траєкторія, що прагне до сідла при t®±¥ Всі інші траєкторії, як завгодно близькі до сепаратрисі, при росту (убуванні) t віддаляються від її.

4) Фокус.

Характеристичних корінь l₁, l₂ — комплексні сполучені числа,тобто ∆> 0, σ² - 4 ∆ < 0, l _1,2= a ± b_і:

а) стійкий, якщо a< 0 (σ< 0) (рис. 4.10а);

б) нестійкий, якщо a> 0 (σ< 0) (рис. 4.10б)

в) центр – стійкий, але не асимптотично, якщо a=0 (рис. 4.10в).

Рис. 4.10. Фазові портрети при комплексних характеристичних коренях

Складні стани рівноваги мають місце у випадку, коли одне або більше характеристичні значення звертаються в нуль. Вони є предметом вивчення теорії катастроф. Ситуації рівноваги є комбінаціями перерахованих вище варіантів і можуть представляти собою сідло-вузол, складне сідло, вони можуть мати кілька областей збіжності та різнобіжності в околиці даної точки і т. д. Тут ми наведемо лише приклади фазових портретов в околицях таких станів рівноваги (рис. 4.11).