2.1. Вторая производная – это производная от производной функции; обозначается двумя штрихами т.е. .
Например, для функции .
Вторая производная для первой производной является такой же характеристикой, как первая производная для самой функции. Она характеризует характер монотонности производной и точки экстремума производной. Вторая производная помогает точнее определять поведение функции на отрезке (или на области определения). Исследование функции при помощи второй производной происходит согласно порядку, уже определенному выше. А именно, нужно искать точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует. Как правило, их называют критические точки второго рода.
Обратите внимание, что для рациональных функций при нахождении последовательно первой и второй производных, степень функции понижается каждый раз на порядок. Т.е., если исследуемая функция третьей степени, то ее первая производная меняется по квадратичному закону, а вторая – по линейному.
А для тригонометрических функций синус и косинус, вторая производная фактически превращается обратно в саму функцию. Например: .
2.2. Физический смысл первой и второй производной
С точки зрения механики. Если задан закон, по которому путь (или перемещение) материальной точки зависит от переменной – времени, т.е. S (t), x(t), тогда: первая производная показывает скорость изменения перемещения, а вторая производная – скорость изменения скорости движения, т.е. ускорение.
или
Например:
- Равномерное движение: (скорость постоянна, ускорение равно нулю);
- Равноускоренное движение: (скорость меняется по линейному закону, ускорение постоянно)
Пример. Движение материальной точки осуществляется по закону .
Найдите: а) начальную скорость движения v0; б) ускорение движения a(t); в) время, через которое скорость точки станет равной 12.
Решение. а) б) в)
2.3. Геометрический смысл первой и второй производной
2.3.1. Первая производная. Значение производной в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, построенной к графику соответствующей функции в точке с абсциссой x0:
, α – угол наклона касательной к оси абсцисс.
2.3.2. Вторая производная.
«Наглядным свойством графика функции на некотором промежутке является его выпуклость. График функции может иметь выпуклость как вверх (например, у функции ), так и выпуклость вниз (например, у функции ).
Точка, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба функции.
Простейший пример – это функция : для нее точка x=0 является точкой перегиба.
Если в этой точке провести касательную, то по одну сторону от точки перегиба график функции начинает уходить выше касательной (становится выпуклым вниз), а по другую сторону - график уходит вниз (становится выпуклым вверх).
Точки перегиба появляются в том случае, если первая производная при переходе через эту точку обратилась в нуль или не существовала, но знак не поменяла.
Например: монотонно возрастает. При этом вторая производная: в точке 0 меняет знак; при - выпуклость вверх, при - выпуклость вниз.
В общем виде алгоритм нахождения точек перегиба:
· Найти вторую производную функции ;
· Найти критические точки второго рода, т.е. приравнять вторую производную к нулю и решить уравнение ;
· Определить знаки второй производной на получившихся промежутках;
· По знаку второй производной сделать выводы о наличии точек перегиба: это критические точки, в которых вторая производная меняет знак;
· При этом:
Если на промежутке - график функции имеет выпуклость вниз ();
Если на промежутке - график функции имеет выпуклость вверх ()
2.4. Задачи
Найти точки перегиба функции и определить выпуклость графика:
1)
Вывод: x=0 – точка перегиба: выпуклость графика – вверх;
- выпуклость графика – вниз.
2)
Критических точек второго рода бесконечно много. Однако, учитывая, что наименьший период функции равен π, достаточно определить наличие точек перегиба на этом периоде:
Определение знаков второй производной:
Вывод: точки перегиба .
В точках - перегиб с выпуклости графика вверх на выпуклость вниз;
В точках - перегиб с выпуклости графика вниз на выпуклость вверх.