Лекция 2. Статистическое распределение

При систематизации данных выборочных обследований используются статистические дискретные и интервальные ряды распределения.

2.1. Статистическое дискретное распределение. Полигон

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x₁ наблюдалось n₁ раз, x₂ - n₂ раз, x_k -n_k раз и - объем выборки.

Наблюдаемые значения x_i – варианты, последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке – вариационный ряд. Число наблюдений варианты n_i называют частотой, а ее отношение к объему выборки – относительной частотой .

Определение. Статистическим (эмпирическим) распределением выборки называют последовательность вариант x_i и соответствующих им частот n_i или относительных частот w_i.

Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:

При этом сумма всех частот равна объему выборки:

или в виде таблицы распределения относительных частот:

(сумма всех относительных частот равна единице )

Пример 1. При измерениях в однородных группах обследуемых получены следующие выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74 (частота пульса). Составить по этим результатам статистический ряд распределения частот и относительных частот.

Решение. 1) Статистический ряд распределения частот:

2) Объем выборки: n=2+4+8+2+4=20. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки . Напишем распределение относительных частот:

Контроль: .

Полигоном частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки с координатами . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х₂, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки с координатами . Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат соответствующие им частоты w_i.

Пример 2. Построим полигон частот и полигон относительных частот по данным примера 1.

2.2. Статистический интервальный ряд распределения. Гистограмма

Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интересующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно (или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы.

Часто разбиение на интервалы и группировку осуществляют с равным шагом разбиения. При этом можно пользоваться следующими рекомендациями по выборке:

· - размах выборки;

· - шаг разбиения (ширина интервала), где k – число интервалов;

· - формула Старджеса для определения числа интервалов, n – объем выборки;

· ;

Полученную группировку удобно представить в форме частотной таблицы, которая носит название статистический интервальный ряд распределения:

Аналогическую таблицу можно образовать, заменяя частоты n_i относительными частотами:

Наиболее информативной графической формой частот является специальный график, называемый гистограммой частот.

Гистограмма частот - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых

служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна - относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Выборочная медиана – это середина вариационного ряда, значение, расположенное на одинаковом расстоянии от левой и правой границы выборки.

Выборочная мода – это наиболее вероятное, т.е. чаще всего встречающееся, значение в выборке.

Пример 3. Из очень большой партии деталей извлечена случайная выборка объема 50; интересующий нас признак Х - размеры деталей, измеренные с точностью до 1см, представлен следующим вариационным рядом: 12, 14, 13, 15, 18, 20, 21, 22, 22, 11, 13, 14, 17, 19, 16, 17, 15, 20, 19, 21, 20, 15, 17, 14, 18, 12, 12, 15, 18, 18, 21, 22, 21, 20, 21, 15, 19, 19, 19, 18, 21, 14, 15, 17, 16, 14, 13, 13, 12, 11. Найти статистический интервальный ряд распределения, построить гистограмму частот и относительных частот.

Решение. 1) , т.е. k = 7;

2)

3) Гистограммы частот и относительных частот: