Рекомендации к решению задания. Пусть даны координаты вершин пирамиды АВСD: А(8; 6; 7); В(–2; 2; –1); С(–3; 4;–3) D(5; 8; 5)

Пусть даны координаты вершин пирамиды АВСD: А(8; 6; 7); В(–2; 2; –1); С(–3; 4;–3) D(5; 8; 5). Требуется:

1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти косинус угла между векторами

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) найти площадь грани АВС;

5) найти объем пирамиды АВСD;

6) составить уравнение грани АВС.

 

Произвольный вектор представляется в системе орт формулой

, (1)

где а_х, а_у, а_z – координаты вектора .

Если заданы точки М(х ₁; у ₁; z ₁) и N(х ₂; у ₂; z ₂), то координаты вектора соответственно равны а_х = х ₂ – х ₁; а_у = у ₂– у ₁; а_z = z ₂– z ₁ и вектор имеет вид

. (2)

1. Применим формулу (2) для векторов , получим векторы: ; ; .

Если вектор задан координатами, то модуль этого вектора вычисляется по формуле

. (3)

Применяя выражение (3), получим:

;

;

.

2. Из формулы скалярного произведения вектора на вектор имеем:

. (4)

Применяя формулу (4) для векторов получим:

.

Проекция вектора на вектор есть , тогда

.

4. Площадь грани АВС будем вычислять по формуле – векторное произведение векторов.

Найдем векторное произведение векторов

.

Определим модуль векторного произведения:

Тогда .

5. Объем пирамиды АВСD определим по формуле

. (5)

Найдем смешанное произведение

Тогда .

6. Чтобы получить уравнение грани АВС, нужно составить уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С. Это уравнение имеет вид

. (6)

Тогда ; ;

.

Разделим на 12 обе части уравнения, в результате уравнение грани будет иметь вид .

 

Задание 3

Задачи 41–60. Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется:

1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти косинус угла между векторами

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) найти площадь грани АВС;

5) найти объем пирамиды АВСD;

6) составить уравнение грани АВС.

 

Номер задач	А	В	С	D
	(2; 1; 0)	(3; –1; 2)	(13; 3; 10)	(0; 1; 4)
	(0; –2; –1)	(2; 4; –2)	(3; 2; 0)	(–11; 8; 10)
	(5; –1; –4)	(9; 3; –6)	(7; 10;–14)	(5; 1; –3)
	(1; –4; 0)	(5; 0; –2)	(3; 7; –10)	(1; –2; 1)
	(–3; –6; 2)	(1; –2; 0)	(–1; 5; –8)	(–3; –4; 3)
	(4; 8; 1)	(0; 4; 3)	(2; 15; –7)	(0; 6; 4)
Номер задач	А	В	С	D
	(2; 4; –4)	(0; 11; –12)	(–2; 0; –2)	(–2; 2; –1)
	(3; 3; –3)	(7; 7; –5)	(3; 5; –2)	(5; 14; –13)
	(6; 9; –5)	(8; 2; 3)	(4; –2; 5)	(4; 0; 6)
	(–4; –2; 3)	(6; 2; 11)	(–5; 0; 1)	(3; 4; 9)
	(2; –6; 2)	(12; –2; 10)	(1; –4; 0)	(9; 0; 8)
	(–2; –2; –8)	(0; –4; –6)	(10; 0; 2)	(7; 2; 0)
	(1; 0; –8)	(11; 4; 0)	(0; 2; –10)	(8; 6; –2)
	(4; –1; 0)	(3; 1; –2)	(14; 3; 8)	(11; 5; 6)
	(2; –3; 1)	(6; 1; –1)	(4; 8; –9)	(2; –1; 2)
	(9; 3; –6)	(7; 10; –14)	(5; –1; –4)	(5; 1; –3)
	(–1; –5; 4)	(9; –1; 12)	(–2; –3; 2)	(6; 1; 10)
	(–4; 5; –5)	(7; 7; 5)	(–3; 3; –3)	(4; 9; 3)
	(3; –3; –2)	(13; 1; 6)	(2; –1; –4)	(10; 3; 4)
	(–7; 1; 1)	(–8; 3; –1)	(3; 5; 9)	(0; 7; 7)