Характеристики генеральной совокупности

2,41 < = Хг <= 5,15

Неравенство определяет пределы, в которых находится средний разряд рабочих в генеральной совокупности.

0,54 <= p <= 0,62

Неравенство определяет пределы, в которых находится доля рабочих с разрядом 4 и выше в генеральной совокупности.

Индивидуальные задания

 

Задача 1

В населенном пункте А проживают 8000 семей. В целях изучения среднего числа детей в семье было проведено в порядке случайной бесповторной выборки 90 семей и получены следующие данные:

Количество детей в семье
Количество семей

 

Требуется с вероятностью 0,997 определить:

- пределы, в которых находится среднее число детей в семье;

- долю семей, имеющих 2 и более детей в целом по пункту А.

 

Задача 2

На машиностроительном предприятии, где число рабочих составляет 6000 чел. методом случайного бесповторного отбора проведено обследование 300 рабочих:

Квалификация (тарифный разряд)
Количество рабочих

 

Требуется определить пределы, в которых находится средний разряд рабочих предприятия, а также долю рабочих с разрядом 3 и выше, если принятая вероятность равна 0,998.

Задача 3

Из 2700 рабочих цеха подвергнуто бесповторному отбору 270 рабочих по результатам отбора получено следующее распределение рабочих по размеру заработной платы:

Месячная заработная плата, руб.	До 1800	1800-2400	2400-3000	3000-4000	4000-6000	6000-10000	Более 10000	Всего
Количество рабочих

 

Требуется определить:

- среднюю заработную плату в цехе;

- долю рабочих с зарплатой 2000 и выше в цехе при заданной вероятности – 0,954.

 

Задача 4

В регионе А была проведена оценка ожидаемого урожая зерновых культур.

Посевная площадь региона составляет 3800 га. Для обследования было выбрано 10 участков, посевной площадью 38 га.

Результаты обследования оказались следующими

Номера участков
Средняя урожайность (ц с га)
Площадь участка (га)

Требуется определить среднюю урожайность в регионе и долю участков с урожайностью 25 и выше ц с га в регионе при заданной вероятности 0.988.

 

Задача 5

В совхозе на участке площадью 400 га посеяна озимая пшеница. Путем бесповторной выборки с участка взяли 32 пробы на определение средней урожайности. В результате обмолота пшеницы получены следующие данные:

 

Урожайность ц с га
Количество проб

 

Требуется с вероятностью 0,928 определить:

1. Среднюю урожайность на участке

2. Долю участков с урожайностью 25 ц с га и выше.

 

Задача 6

Из партии электроламп взята 20%-ная случайная бесповторная выборка для определения среднего веса спирали. Результаты выборки следующие:

 

Вес, мг	38 -40	40-42	42-44	44 -46
Число спиралей

Определить с вероятностью 0,95 доверительные пределы, в которых лежит средний вес спирали, для всей партии электроламп.

 

Задача 7

На заводе электроламп из партии продукции в количестве 1600 шт. ламп взято на выборку 1600 шт. (случайный, бесповторный отбор), из которых 40 шт. оказались бракованными.

Определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых будет находиться процент брака для всей партии продукции.

 

Задача 8

По городской телефонной сети в порядке случайной выборки (механический отбор) произвели 100 наблюдений и установили среднюю продолжительность одного телефонного разговора 5 мин. при среднем квадратическом отклонении 2 мин.

Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 18 сек.?

 

Задача 9

На основе выборочного обследования в отделении связи города предполагается определить долю писем частных лиц в общем объеме отправляемой корреспонденции. Никаких предварительных данных об удельном весе этих писем в общей массе отправляемой корреспонденции не имеется.

Требуется определить численность выборки, если результаты выборки дать с точностью до 1% и гарантировать это с вероятностью 0,95.

 

Задача 10

На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за октябрь:

Месячный доход, руб	600- 1000	1000 - 1400	1400- 1800	1800-2200	Всего
Число рабочих

Определить:

1) среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997;

2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 1400 руб. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954;

3) необходимую численность выборки при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 50 руб.;

4) необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода 1400 руб. и выше, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 4%.

 

Задача 11

Операция шлифования при обработке детали № 312 производится в цехе на трех станках. Для определения процента брака для всей партии продукции, выработанной за день, проведено расслоенние (типическая) 10%-ной выборки. Отбор деталей из выработки каждого станка - случайный бесповторный; объем выборки пропорционален размеру выпуска. На первом станке было обработано 1700 деталей, на втором - 2000, на третьем - 1800. Число забракованных деталей в выборке: по первому станку - 2, по второму - 3, по третьему - 3.

Определить: 1) доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,95 заключен процент брака для всей партии продукции: 2) вероятность того, что процент брака для всей партии продукции отличается от полученного по выборке не более чем на 0,6.

 

Задача 12

При контрольной проверке качества апельсинов проведена 10%-ная серийная выборка. Из партии, содержащей 50 ящиков апельсинов (вес ящиков одинаков), методом механического отбора взято 5 ящиков. В результате сплошного обследования находящихся в ящике апельсинов получили данные об удельном весе бракованных апельсинов. Результаты следующие:

 

№ ящика, попавшего в выборку
Удельный вес бракованной продукции, %	1,2	1,8	2,0	1,0	1,5

 

Требуется с вероятностью 0,95 установить доверительные интервалы удельного веса бракованной продукции для всей партии апельсинов.

 

Задача 13

Из партии электроламп произведена малая выборка (отбор случайный, бесповторный) для определения продолжительности службы ламп. Результаты выборки следующие:

 

№ лампы
Срок горения, час.

 

На основе приведенных данных требуется:

1) определить доверительные интервалы, в которых заключена средняя продолжительность службы ламп для всей партии, гарантируя результат с вероятностью 0,99;

2) определить вероятность того, что средний срок службы ламп для всей партии отличается от полученного по выборке не более чем на 40 часов.

 

Задача 14

Обработка детали № 427 производится в цехе на двух однотипных станках. При выборочном наблюдении (механический отбор единиц) были зарегистрированы следующие затраты на обработку одной детали:

 

Затраты времени	Число деталей
на одну деталь, мин	станок № 1	станок № 2
1,5-2,5
2,5-3,5
3,5-4,5
4,5-5,5
Итого

На основе приведенных данных следует определить, существенно ли расхождение в затратах времени на обработку одной детали для этих двух станков, гарантируя результат с вероятностью 0,95.

 

Задача 15

Известны результаты выборочного обследования пробега автомобильных шин нового типа в различных условиях эксплуатации:

№ п/п	Условия эксплуатации	Пробег шин, тыс. км	№ п/п	Условия эксплуатации	Пробег шин, тыс. км
	Загородные	54,2		Загородные	56,6
	Городские	70,5		Смешанные	60,5
	Смешанные	58,9		Городские	70,3
	Городские	71,8		Загородные	55,0
	Смешанные	59,1		Смешанные	58,4
	Городские	69,8		Городские	69,1
	Загородные	58,8		Городские	72,0
	Городские	58,9		Смешанные	59,0
	Городские	68,7		Загородные	56,4
	Смешанные	60,1		Городские	58,7
	Городские	72,1		Смешанные	61,8
	Смешанные	62,2		Городские	66,2

Установить, существует ли зависимость между условиями эксплуатации и величиной пробега шин, гарантируя результат с вероятностью 0,95.

 

Задача 16

Для выявления текущих потерь рабочего времени на производственном участке цеха был использован метод моментных наблюдений. За смену было произведено 64 наблюдения и получено 6 отметок о простое рабочих.

С вероятностью 0,954 определить доверительные интервалы текущих потерь рабочего времени на производственном участке цеха.

 

Задача 17

В цехе проектируется проведение моментных наблюдений для выявления текущих простоев производственного оборудования.

Для организации моментных наблюдений требуется определить необходимое число наблюдений и число обходов, если в цехе имеется 20 единиц предназначенного к работе оборудования. Никаких предварительных данных о доле простоев в сменном фонде не имеется. Ошибка наблюдения не должна превышать 5% и гарантирована с вероятностью 0,954.

 

Задача 18

Из общего количества рабочих предприятия была про­ведена 30%-ная случайная бесповторная выборка с целью определения затрат времени на проезд к месту работы. Результаты выборки следующие:

Затраты времени на проезд к месту работы, мин	До 30	30 - 40	40-50	50 - 60	60- 70
Число рабочих

Определить: 1) средние затраты времени на проезд к месту работы у рабочих данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997; 2) долю рабочих предприятия, у которых затраты времени на проезд к месту работы составляют 60 мин. и более, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

 

Задача 19

Выходной контроль качества поступающих на предпри­ятие комплектующих изделий, осуществляемый в порядке меха­нической выборки, дал следующие результаты:

Отклонение размера изделия от принятого по ГОСТу, %	Число изделий
От	До
-2	-3
-1	-2
	-1

Определить: 1) пределы значений среднего отклонения раз­мера изделий от стандарта по ГОСТу с вероятностью 0,997; 2) пределы доли изделий с отрицательным отклонением в общей совокупности изделий с вероятностью 0,954.

 

Задача 20

Произведен 10%-ный пропорциональный типический отбор рабочих со сдельной и повременной системами оплаты тру­да для изучения показателей выполнения сменного задания. Отбор единиц в каждой группе бесповторный. Выборка дала следующее распределение численности рабочих по проценту выполнения норм выработки:

Группы рабочих по оплате труда	Группы рабочих по проценту выполнения сменного задания	Итого рабочих
до 100	100- 120	120- 140	140 и выше
Рабочие - сдельщики
Рабочие- повременщики
Итого

 

Определить: 1) доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,954 заключен средний процент выполнения сменного задания для всех рабочих предприятия; 2) возможные пределы доли рабочих, выполняющих сменное задание не менее чем на 120% (с вероятностью 0,954); 3) необходимую численность выборки при определении доли рабочих, выполняющих сменное задание не менее чем на 120%, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 3%.

 

Задача 21

В АО «Прогресс» работает 3000 человек. Методом случайной бесповторной выборки обследовано 1000 человек, из которых 820 выполняли и перевыполняли дневную норму выработки.

Определить: 1) долю рабочих, не выполняющих норму выработки, по данным выборочного обследования;

2) долю всех рабочих акционерного общества, не выполняющих норму (с вероятностью 0,954).

 

Задача 22

Из партии изготовленных изделий общим объемом 2000 единиц проверено посредством механической выборки 30% изделий, из которых бракованными оказались 12 изделий.

Определить: 1) долю бракованных изделий по данным выборки;

2) пределы, в которых находится процент бракованных изделий, для всей партии (с вероятностью 0,954).

 

Задача 23

По данным выборочного обследования 10 000 пассажиров пригородного сообщения средняя дальность поездки пассажира составила 35,5 км, а среднее квадратическое отклонение -16,0 км.

Определить. 1) пределы средней дальности поездки пассажиров с вероятностью 0,954;

2) как изменится предельная ошибка выборки, если вероятность будет принята равной 0,997?

 

Задача 24

Хронометраж работы станочника дал следующие результаты:

Затраты времени на изготовление одной детали, сек	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100	Итого
Количество деталей, шт

 

Определить: 1) средние затраты времени на обработку одной детали по данным наблюдения; 2) предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954, учитывая, что речь идет о массовом производстве, т. е. выборка производится из генеральной совокупности бесконечно большого объема.

 

Задача 25

В механическом цехе завода в порядке малой выборки изучались фотографии рабочего дня 10 рабочих Время непроизводительной работы и перерывов, зависящих от рабочего и по организационно-техническим причинам, для обследованных рабочих составило: 52, 48, 60, 46, 62, 54, 51, 49, 55, 53 мин.

Определить: 1) доверительные пределы, в которых находится среднее время непроизводительной работы и перерывов для всех рабочих цеха, гарантируя результат с вероятностью 0,99; 2) вероятность того, что среднее время непроизводительной работы и перерывов всех рабочих цеха отличалось от полученного по выборке не более чем на 3 мин.

 

Задача 26

Из 200 ящиков по 100 деталей в каждом, поступивших на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной серийной выборки отобрано 5 ящиков, все детали которых проверены на вес. Результаты проверки следующие:

	№ ящика
Средний вес 1 детали

Определить: 1) возможные пределы среднего веса детали для всей партии, поступившей на склад (с вероятностью 0,954); 2) объем случайной бесповторной серийной выборки, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки при определении среднего веса одной детали для всей партии не превышала 0,7 г.

Задача 27

На предприятии с числом установленных металлорежущих станков 120 единиц необходимо на основе выборочного обследования определить долю станков возрастом свыше 10 лет. Никаких предварительных данных об удельном весе этого оборудования в общей численности установленного оборудования нет.

Определить, каков должен быть объем выборки с механическим отбором, чтобы при вероятности 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 5%.

 

Задача 28

На основе 5%-ной бесповторной выборки получены следующие данные о пробеге автомобильных шин, эксплуатируемых в городских условиях:

Пробег шин, тыс. км	40-42	42 -44	44 - 46	46-48	48 -50	50-52
Число шин

Определить доверительные интервалы среднего пробега шин в городских условиях, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

 

Задача 29

Для определения средней из совокупности произведена типическая выборка. Совокупность разделена на три однородные группы численностью 3000, 5000 и 10 000 единиц соответственно. Отбор 5%-ный. Результаты, полученные по данным выборки, следующие:

Группы	Выборочная средняя	Выборочная дисперсия

Гарантийную вероятность принять равной 0,997. Определить доверительные интервалы средней.

Задача 30

Методом собственно случайной бесповторной выборки было обследовано 150 студентов дневного отделения одного из высших учебных заведений. Доля студентов, совмещающих работу и учебу, составила, по данным выборки, 30%. Определить вероятность того, что ошибка доли студентов дневного отделения этого учебного заведения, работающих в течение учебного года, не превысит 5%; 10%.

 

Задача 31

Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции района, чтобы ошибка доли фирм, несвоевременно уплачивающих налоги, не превысила 5%? По данным предыдущей проверки, доля таких фирм составила 32%. Доверительную вероятность принять равной 0,954 (0,997).

Задача 32

Какова должна быть численность механической выборки для определения доли служащих, прошедших повышение квалификации по использованию вычислительной техники, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка репрезентативности не превышала 10%? Общая численность служащих предприятия составляет 324 человека.

Задача 33

Из 220 отобранных изделий 5% не соответствуют ГОСТу. Определить среднюю ошибку повторной выборки и границы, в которых находится доля продукции, соответствующая ГОСТу, для всей партии с вероятностью 0,997.

 

Задача 34

В сберегательных банках города методом случайной повторной выборки было отобрано 1600 счетов вкладчиков. Средний размер остатков вклада по этим счетам составил 3,2 тыс. руб. при коэффициенте вариации 30%. Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении среднего размера остатков вклада не превысит 0,05 тыс. руб.?

Задача 35

Для определения средней продолжительности телефонного разговора и доли разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., предполагается провести выборочное наблюдение методом случайной выборки. По данным аналогичных обследований, среднее квадратическое отклонение продолжительности разговора составило 3,5 мин., а доля телефонных разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., составила 0,4. Сколько телефонных разговоров необходимо обследовать для того, чтобы с вероятностью 0,954 (0,997) найти среднюю продолжительность телефонного разговора, с ошибкой, не превышающей 30 с, а также долю телефонных разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., с ошибкой, не превышающей 5%?

Задача 36

На автотранспортном предприятии известны следующие результаты выборочного обследования пробега автомобильных шин одного типоразмера в городских условиях при работе водителей различной квалификации:

 

Пробег автомобильных шин, тыс. км	Число шин
при работе водителей 1 класса	при работе водите лей II класса
50-52
52-54
54-56
56-58
58-60
Итого

На основе приведенных данных следует определить, существенно ли расхождение среднего пробега автомобильных шин для двух групп водителей, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

 

Задача 37

Обработка детали № 318 производится в цехе на трех станках, имеющих различную производительность. Для определения доли бракованных деталей для всей партии продукции организована типическая выборка. Методом бесповторного отбора от каждого станка взято 10% деталей из числа отработанных за день и получены следующие результаты:

 

№ станка	№ 1	№2	№3
Число проверенных деталей, шт.
В том числе брак

 

Определить: 1) предельную ошибку выборки и доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,997 будет находиться процент брака для все партии деталей, обработанных за день; 2) вероятность того, что процент брака для всей партии деталей будет отличаться от полученного по выборке не более, чем на 0,7%.

 

Задача 38

Построить 95%-ный доверительный интервал для оценки генерального среднего размера детали по данным 12 деталей, произведенных на токарном автомате, если отклонения размеров этих деталей от середины поля допуска оказались следующими:

 

№ детали

Отклонение раз мера в мк

-1

+2

-2

+4

-3

+2

+6

-1

+4

+2

-1

 

Задача 39

Для характеристики использования рабочего времени в механическом цехе проектируется повторное проведение моментного наблюдения. Проведение предыдущего наблюдения дало следующие результаты: 420 отметок состояния «работа» и 60 -состояния «простой». Определить необходимое число моментальных наблюдений и обходов рабочих мест с вероятностью 0,954 (0,997), приняв точность результатов в пределах 1% (2%). Число рабочих мест в цехе - 60.

 

Задача 40

При проверке автомобильных шин на сопротивление разрыву была проведена малая выборка и получены следующие результаты:

№ шины
Сопротивление разрыву, кг/см

Определить доверительные интервалы, в которых заключен средний уровень сопротивления материала разрыву, гарантируя результат с вероятностью 0,99.

 

Задача 41

Объем выборки:

1) увеличился в 2 раза;

2) уменьшился в 2 раза.

Определить, как изменится ошибка простой случайной повторной выборки.