Оценка стоимости опционов

Оценка стоимости фьючерсных контрактов рассмотрены ранее в разделе 4.9. Поэтому в данной главе мы рассмотрим вопросы, связанные с оценкой стоимости только одного вида срочных контрактов – опционов.

Каждый опционный контракт имеет внутреннюю стоимость (intrinsic value), под которой понимают

 

Iv (t) = max(0; Pa (T)- Pa(t)) (5.30)

 

Pa(T) ценa исполнения; Pa(t)- текущая цена актива, на который заключен опцион. Когда внутренняя стоимость положительна, то говорят что опцион находится в «деньгах», в противном случае вне «денег».

Изменение внутренней стоимости опциона отражается на текущей стоимости опциона, под которой понимают оценку потенциала заработать некую внутренюю стоимость до момента исполнения опциона. Ключевым параметром, определяющим значеие текущей стоимости опциона является изменчивость стоимости базового актива. В момент заключения опционной сделки премия (или цена опциона) является суммой внутренней и текущей стоимости опциона.

Предположим, что имеется вероятностное распределение цены актива на момент исполнения опциона T с плотностью распределения r. Тогда средняя стоимость актива (Рua), выше чем цена исполнения будет равна

 

P _ua = ò x*r(x) dx / ò y r(y) dy (5.31)

{x:x > Pa(T)} {y:y > Pa(t)}

А средняя стоимость актива (Рla), ниже чем цена исполнения будет равна

P _la = ò x*r(x) dx / ò r(y)* dy (5.32)

{x:x<Pa(T)} {y:y<Pa(T))}

Обычно считают, что цена актива, являющегося предметом опциона, является медианной, т.е. вероятность того, что цены будут выше или ниже, чем она, одинаковы и равны 0,5. Тем самым

 

P _ua = 2* ò x*r(x) dx P _la = 2* ò x*r(x) dx (5.33)

{x:x > Pa(T)} {x:x<Pa(T)}

 

Если имеется возможность инвестировать средства в безрисковые ценные бумаги с фикcированным процентом R, то для того, чтобы опцион имел смысл должно соблюдаться неравенство

 

P _la (T)/Pa(T) <1+ R(Т) < P _ua (T)/Pa(T), (5.34)

 

т. к. в противном случае существует возможность получения безрискового о дохода, если не соблюдается правое неравенство, либо есть смысл сразу же приобрести акции, заняв для этого деньги, если не соблюдается левое неравенство.

Приобретение опциона на покупку должно сопоставляться с возможностью купить базовый актив в настоящий момент за счет привлечения какой-то части денежных средств в виде кредита. Сделав подобные операции в момент времени T получаем:

 

V_u(T) = H₀*P_a(0)* P_ua(T)/Pa(T)-(1+R(T))B₀ - для случая повышения цены актива

 

V_l(T) = H₀*P_a(0)* P_la(T)/Pa(T)- (1+R(T))B₀ - для случая понижения цены актива

 

Где H₀ - количество приобретенных единиц актива; B₀ – объем средств занятых для покупки актива в текущий момент

Как в случае повышения стоимости актива, так и в случае его понижения должно соблюдаться условие равенства дохода от инвестиции в актив и в опцион, т.е.

 

I_vu(T) = max(0; P_ua (T)- P_a(T))₌ H₀*P_a(0)* P_ua(T)/P_a(T)-(1+R(T))B₀ (5.35)

 

I_vl(T) = max(0; P_la (T)- P_a(T))₌ H₀*P_a(0)* P_la(T)/P_a(T)-(1+R(T))B₀ (5.36)

Решая систему (5. 35 – 36) получаем

 

(I_vu(T)- I_vl(T)) * P_a(T)

Н = ------------------------------------- (5.37)

(P_ua(T) - P_la(T))* P_a(0)

 

 

(I_vu(T) - I_vl(T)) * P_la(T)

B = ------------------------------------------------- (5.38)

(P_ua(T) - P_la(T))* (1+R(T))

Н - часто называют коэффициентом хеджирования (hedge ratio) или величиной дальты. По правилу цены мы можем установить цену опциона, приравняв ее к текущей цене портфеля равной:

С =H P_a(0)-B (5.39)

 

Подставляя значения Н и B получаем

 

(I_vu(T)- I_vl(T)) * P_a(T)* (1+R(T))- I_vu(T)* P_la(T) + I_vl(T) * P_la(T)

С = -------------------------------------------------------------------------------------------------------- (5.40)

(P_ua(T) - P_la(T))* (1+R(T))

 

Обозначим через

P_a(T)* (1+R(T))- P_la(T)

Q = ------------------------------------------- (5.41)

(P_ua(T) - P_la(T))

Тогда стоимость опциона определяется как

С =(Q* I_vu(T)+(1-Q)* I_vl(T))/(1+R(T)) (5.42)

Проводя аналогичные рассуждения для пут-опциона получаем, что

U = (Q* P_ua(T)+(1-Q)*P_la(T))/(1+R(T)) (5.43)

Таким образом, пут-опцион стоит дороже, чем колл-опцион на величину равную

 

D=(Q* (P_ua(T)- I_vu(T))+(1-Q)*(P_la(T)- I_vl(T)))/(1+R(T)) (5.44)

 

Cуществуют и более сложные модели оценки стоимости опционов, учитывающие многократность опционных сделок, а также отсутствие данных о вероятностных распределениях стоимости базовых активов в будущем.