Преобразование координат

Пусть на плоскости введены две системы координат с общим началом O. Связь между координатами точки A относительно этих систем координат определяется формулами

A

α

E C

α

B D

Эти формулы выражают координаты точки A в исходной системе координат через ее координаты в новой системе координат . Отметим, что формулы (1) остаются справедливыми при любом расположении точки A на плоскости.

Пусть требуется найти каноническое уравнение кривой, которая задана в системе координат неканоническим уравнением

Сначала перенесём параллельно систему координат в точку , в результате чего получится система В качестве точки выбирается центр эллипса, гиперболы, либо вершина параболы. Координаты точек при параллельном переносе связаны формулами , Подставляя их в уравнение (2), найдём уравнение кривой относительно системы координат

Далее, поворачивая систему координат на угол , получим систему координат , в которой согласно формулам (1) уравнение (3) принимает вид:

Это уравнение приводится к каноническому виду:

Технически угол выбирается так, чтобы в уравнении (4) отсутствовало произведение . Каноническое уравнение (5) можно получить иначе, если сначала повернуть систему координат, а потом совершить параллельный перенос.