Тема 3. Конические сечения

Полярные координаты

Проведём из произвольной точки О на плоскости луч g и примем обычное направление отсчёта углов с вершиной в точке О. Каждой точке A (A≠O) плоскости можно сопоставить два числа: расстояние между точками O и A, угол, образуемый отрезком с лучом. Числа называются полярными координатами точки : полярным радиусом, полярным углом. Точка O называется полюсом, луч g полярной осью, а отрезок также называют полярным радиусом.

Как и в случае декартовых координат, можно рассматривать неявное уравнение кривой в полярных координатах Если это уравнение разрешается относительно полярного радиуса , т.е. выражается то получается явное уравнение кривой в полярных координатах. Оно легко интерпретируется.

Пример1. Составим в полярных координатах уравнение окружности, проходящей через полюс O, с центром S на полярной оси и радиусом R.

A

O S A₀

Из прямоугольного треугольника OAA₀ имеем:

Поэтому уравнение указанной окружности примет вид:

Введём на плоскости систему декартовых координат , приняв полюс O за начало декартовой системы, а полярную ось – за положительную полуось . Между полярными и декартовыми координатами точки устанавливается следующая связь: (1)

которая справедлива при любом расположении точки A на плоскости.

Формулы (1) позволяют, зная уравнение кривой в декартовых координатах, получить её уравнение в полярных координатах и наоборот, что сложнее.

Пример2. Составим уравнение произвольной прямой в полярных координатах. Возьмём общее уравнение прямой в декартовых координатах

Введём в это уравнение вместо x, y полярные координаты по формулам (1):

Разделим это уравнение на :

Положим

Последнее обозначение справедливо при тогда Если то предварительно умножим уравнение (2) на –1. Подставим обозначения:

, (:

Упражнение 13. Какой геометрический смысл имеют и в уравнении прямой в полярных координатах? Как изменяется полярный угол?

Упражнение 14. Показать, что уравнение любой окружности в полярных координатах можно записать в форме Определить координаты её центра и радиус R.

Упражнение 15. Вывести в полярных координатах уравнение кардиоиды, т.е. геометрического места оснований перпендикуляров, опущенных из точки окружности радиуса R на её касательные. Принять за полюс точку , а за полярную ось – продолжение радиуса . Показать, что кривая имеет нарисованную форму, а её уравнение:

Упражнение 16. Составить уравнение лемнискаты Бернулли, т.е. геометрического места точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек называемых фокусами, постоянно и равно

Принять за полюс середину отрезка , а за полярную ось – луч, проходящий через один из фокусов. Показать, что кривая имеет следующую форму, а её уравнение . Как изменяется угол ?