Уравнения и расположение плоскостей

Составим уравнение произвольной плоскости в декартовых координатах. Пусть некоторая точка плоскости и ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Тогда, какова бы не была точка плоскости, векторы и перпендикулярны, т. е.

= 0. (1)

Имеем:

Пусть , . (2)

Из равенства (1) следует

. (3)

Это уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором .

Преобразуем уравнение (3):

(4)

где Получили общее уравнение плоскости (4), причём коэффициенты удовлетворяют условию (2). Отметим, что уравнение любой плоскости линейно относительно переменных x, y, z.

Выясним особенности расположения плоскости относительно системы координат, если её уравнение имеет неполный вид:

1. a = 0, b = 0, тогда уравнение (4) упрощается , . Вектор , который перпендикулярен плоскости, параллелен оси Z, поэтому плоскость параллельна плоскости xy. В частности, если , то

z = 0 – это уравнение плоскости xy.

2. тогда .

Плоскость параллельна плоскости xz и совпадает с ней, если d = 0.

3. тогда

Плоскость параллельна плоскости yz и совпадает с ней, если d = 0.

4. a = 0, тогда by + cz + d = 0.

Вектор перпендикулярен оси x, т. к.

Плоскость параллельна оси , в частности проходит через неё, если d = 0.

5. тогда

Плоскость параллельна оси y и проходит через неё, если d = 0.

6. тогда

Плоскость параллельна оси Z и проходит через неё, если d = 0.

7. тогда

Плоскость проходит через начало координат О(0,0,0), т.к. его координаты удовлетворяют уравнению плоскости.

Уравнение плоскости имеет общий вид (4). Преобразуем его, перенеся свободный член вправо: . Разделим обе части на

Введём обозначения: тогда

(5)

Постоянные с точностью до знака равны длинам отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. Поэтому уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках.