Взаимное расположение плоскостей

Пусть имеем две плоскости:

Выясним, при каком условии эти плоскости: а) параллельны, б) перпендикулярны.

Так как вектор перпендикулярен первой плоскости, а вектор - второй, то плоскости параллельны, только если векторы коллинеарны, т.е. , , , , откуда

Т.е. у параллельных плоскостей коэффициенты при соответствующих переменных их уравнений пропорциональны.

Замечание 1: Одно или даже два из трех отношений (2) могут иметь вид , если плоскости расположены специальным образом относительно системы координат.

Замечание 2: Совпадение плоскостей рассматривается как особый случай параллельности, тогда соотношение совпадает с ненулевыми отношениями (2), либо имеет вид .

Замечание 3: Условие параллельности (2) можно получить с помощью векторного произведения:

Для того, чтобы плоскости (1) были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы векторы и были перпендикулярны, т.е. , , - условие перпендикулярности плоскостей (1).

Пусть уравнениями (1) заданы две произвольные плоскости. Найдем угол между ними. Угол между векторами и равен одному из углов, образованных плоскостями. Угол между векторами легко найти с помощью скалярного произведения: , отсюда

Пусть имеем три различных плоскости:

Три плоскости либо:

пересекаются в одной точке,
параллельны некоторой прямой,
проходят через прямую,
две плоскости из трех параллельны,
три плоскости параллельны,

Если плоскости пересекаются в одной точке, то система уравнений (3) имеет единственное решение. Как известно из алгебры, это будет тогда и только тогда, когда

Это можно пояснить и другим способом. В общем случае, плоскости произвольны, поэтому векторы , , - не параллельны никакой плоскости, т.е. некомпланарны. Следовательно, их смешанное произведение, равное определителю , отлично от нуля.

Плоскости (3) будут параллельны некоторой прямой, если , что означает компланарность векторов . Если при этом система (3) совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение, то плоскости пересекаются по прямой, представляющей однопараметрическое семейство решений.