Простейшие задачи на плоскость и прямую

Уравнение произвольной плоскости, проходящей через точку , или связки плоскостей.

Любая плоскость задается уравнением

Так как точка принадлежит плоскости, то выполняется тождество .

Вычитаем его из уравнения (1):

Получили уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Действительно, при любых коэффициентах уравнение (2) удовлетворяется координатами .

Уравнения прямой, проходящей через точку , или связки прямых.

Искомые уравнения имеют вид

В самом деле, уравнения (3) задают прямую, проходящую через точку . Давая коэффициентам произвольные значения, не все равные нулю, получаем прямую любого направления, проходящую через заданную точку.

3. Уравнения прямой, проходящей через две точки и .

Уравнения прямой можно записать в форме (3). Поскольку вторая точка лежит на прямой, справедливы тождества:

Разделив уравнения (3) на эти тождества почленно, исключим параметры . Получаем уравнения прямой, проходящей через две точки:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и .

Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Три вектора , и лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Записывая его в координатах, получим уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости (1).

Искомое уравнение (2). Эта плоскость проходит через данную точку и параллельна заданной плоскости.

Уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой

Искомые уравнения (3).

Прямая, проходящая через точку перпендикулярно плоскости (1)

задается уравнениями .

Плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой (4)

определяется уравнением .

Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым и .

Пусть - произвольная точка плоскости, тогда вектор лежит в плоскости. Так как векторы и параллельны плоскости, то три вектора , и компланарны. Их смешанное произведение равно нулю. В координатах получаем уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельно двум заданным прямым:

Упражнение 45. Показать, что любая плоскость, кроме одной, проходящая через прямую , задается уравнением вида .

Упражнение 46. Показать, что коническая поверхность, образованная прямыми, проходящими через начало координат и пресекающими кривую , задается уравнением .

Упражнение 47. Показать, что цилиндрическая поверхность, образованная прямыми, параллельными прямой () и пересекающими кривую плоскости , задается уравнением .