- Уравнение произвольной плоскости, проходящей через точку , или связки плоскостей.
Любая плоскость задается уравнением
.
Так как точка принадлежит плоскости, то выполняется тождество .
Вычитаем его из уравнения (1):
.
Получили уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Действительно, при любых коэффициентах уравнение (2) удовлетворяется координатами .
- Уравнения прямой, проходящей через точку , или связки прямых.
Искомые уравнения имеют вид
.
В самом деле, уравнения (3) задают прямую, проходящую через точку . Давая коэффициентам произвольные значения, не все равные нулю, получаем прямую любого направления, проходящую через заданную точку.
3. Уравнения прямой, проходящей через две точки и .
Уравнения прямой можно записать в форме (3). Поскольку вторая точка лежит на прямой, справедливы тождества:
.
Разделив уравнения (3) на эти тождества почленно, исключим параметры . Получаем уравнения прямой, проходящей через две точки:
.
- Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и .
Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Три вектора , и лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Записывая его в координатах, получим уравнение плоскости, проходящей через три точки:
|
|
.
- Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости (1).
Искомое уравнение (2). Эта плоскость проходит через данную точку и параллельна заданной плоскости.
- Уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой
.
Искомые уравнения (3).
- Прямая, проходящая через точку перпендикулярно плоскости (1)
задается уравнениями .
- Плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой (4)
определяется уравнением .
- Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым и .
Пусть - произвольная точка плоскости, тогда вектор лежит в плоскости. Так как векторы и параллельны плоскости, то три вектора , и компланарны. Их смешанное произведение равно нулю. В координатах получаем уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельно двум заданным прямым:
.
Упражнение 45. Показать, что любая плоскость, кроме одной, проходящая через прямую , задается уравнением вида .
Упражнение 46. Показать, что коническая поверхность, образованная прямыми, проходящими через начало координат и пресекающими кривую , задается уравнением .
Упражнение 47. Показать, что цилиндрическая поверхность, образованная прямыми, параллельными прямой () и пересекающими кривую плоскости , задается уравнением .
Упражнение 48. Показать, что поверхность, образуемая при вращении кривой около оси , задается уравнением .
|
|